मुख्य विचार
अवकलज f′(x), h के शून्य की ओर जाने पर [f(x+h)−f(x)]/h की सीमा है, यदि वह मौजूद हो। अनुकूलन में उचित लक्ष्य फलन, संभव प्रांत, अवकलज की सूचना और छोरों की जाँच जुड़ती है; केवल f′(x) = 0 हल करना पर्याप्त नहीं।
1. शून्य से भाग दिए बिना दो निवेश पास लाएँ
अशून्य बढ़ोतरी h के लिए [f(x+h)−f(x)]/h छोटे अंतराल की औसत दर है। ग्राफ पर वह दो बिंदुओं से गुजरती छेदक रेखा की ढाल है। अवकलज परिभाषित करने के लिए देखें कि h दोनों ओर से शून्य के मनचाहे पास आने पर यह भागफल किस मान के पास जाता है। मूल भिन्न में h = 0 नहीं रखते। f(x) = x² में विस्तार से [(x+h)²−x²]/h = (2xh+h²)/h = 2x+h मिलता है, जहाँ h ≠ 0। h शून्य की ओर जाए तो मान 2x की ओर जाता है, इसलिए f′(x) = 2x। x = 2 पर h = 0.1 और −0.1 से ढाल 4.1 तथा 3.9 मिलती है; अंतराल घटने पर दोनों 4 की ओर जाती हैं। केवल कुछ संख्यात्मक कोशिशें नहीं, बीजगणित सीमांत मान स्थापित करता है।
2. नियम सीमाओं का सार हैं; इकाइयाँ अर्थ बनाए रखती हैं
धनात्मक पूर्णांक n के लिए घात नियम xⁿ का अवकलज nxⁿ⁻¹ देता है। स्थिरांक का अवकलज शून्य है। योग का अवकलज पदों के अवकलजों का योग होता है और स्थिर गुणक बने रहते हैं: 4x³−2x+7 का अवकलज 12x²−2 है। ये नियम सीमाओं से निकलते हैं और हर बार विस्तार करने से बचाते हैं। अवकलज भी फलन है, इसलिए अवकलन के बाद आवश्यक निवेश पर उसका मान निकालें। उसकी इकाई निर्गम की इकाई/निवेश की इकाई है: जैसे समय के सापेक्ष स्थिति में मीटर प्रति सेकंड। वह सामान्यतः f(x)/x नहीं है। x = 2 पर f(x) = x² की स्पर्शरेखा y = 4+4(x−2) है। x = 2 के पास यह रेखा वक्र का सन्निकटन देती है; दूर जाने पर त्रुटि बढ़ती है क्योंकि वर्ग में बढ़ोतरी का द्विघात पद भी होता है।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: अवकलन के नियम ↗ · ओपनस्टैक्स: अवकलज की परिभाषा ↗
3. हल किया उदाहरण: औसत और तात्कालिक वेग
0 ≤ t ≤ 4 सेकंड में काल्पनिक स्थिति मॉडल s(t) = 3t²+2t मीटर लें। t = 2 और t = 3 पर स्थितियाँ 16 m तथा 33 m हैं, इसलिए औसत वेग (33−16)/(3−2) = 17 m/s है। अवकलन से v(t) = s′(t) = 6t+2 m/s मिलता है; तात्कालिक वेग दो सेकंड पर 14 m/s और तीन सेकंड पर 20 m/s है। औसत इन दोनों के बीच है क्योंकि पूरे अंतराल में वेग बढ़ता है। फिर अवकलन करने पर त्वरण 6 m/s² है। स्थिति, वेग और त्वरण अलग प्रश्नों के उत्तर हैं और उनकी इकाइयाँ अलग हैं। इस मॉडल में वेग रैखिक और त्वरण स्थिर है; ये चुने सूत्र के गुण हैं, हर चलती वस्तु या बताए अंतराल से बाहर न देखे समय के बारे में दावे नहीं।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: अवकलज की परिभाषा ↗ · ओपनस्टैक्स: अवकलन के नियम ↗
4. डिजाइन प्रश्न को संभव लक्ष्य फलन में बदलें
अनुकूलन प्रतिबंध पूरे करते हुए सबसे बड़ा या छोटा मान पूछता है। पहले लक्ष्य मात्रा पहचानें, इकाइयों सहित चर चुनें और प्रतिबंधों से लक्ष्य को एक चर में लिखें। फिर संभव प्रांत बताएँ। बंद और सीमित अंतराल पर सतत फलन अधिकतम और न्यूनतम प्राप्त करता है। उन्हें खोजने के लिए छोरों तथा भीतर के क्रांतिक बिंदुओं पर मान तुलना करें, जहाँ अवकलज शून्य है या मौजूद नहीं। शून्य अवकलज क्षैतिज स्पर्शरेखा बताता है, अपने-आप अधिकतम नहीं। x³ का अवकलज x = 0 पर शून्य है, लेकिन फलन वहाँ से बढ़ता हुआ गुजरता है। |x| का शून्य पर न्यूनतम है, हालाँकि वहाँ बाईं और दाईं ढाल अलग हैं। कौन-सा प्रत्याशी सर्वोत्तम है, यह मूल लक्ष्य और प्रांत तय करते हैं।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: अनुप्रयुक्त अनुकूलन समस्याएँ ↗ · ओपनस्टैक्स: अवकलज की परिभाषा ↗ · ओपनस्टैक्स: अधिकतम और न्यूनतम ↗
5. हल किया उदाहरण: मॉडल डिब्बे का अधिकतम आयतन
आयताकार शीट 30 cm गुणा 20 cm है। कल्पना करें कि चारों कोनों से x भुजा वाले बराबर वर्ग हटाकर किनारे मोड़े जाते हैं और खुला डिब्बा बनता है; सामग्री की मोटाई छोड़ दें। ऊँचाई x, लंबाई 30−2x और चौड़ाई 20−2x है, इसलिए V(x) = x(30−2x)(20−2x) = 600x−100x²+4x³ cm³। वास्तविक डिब्बे के लिए 0 < x < 10; सीमांत छोरों पर आयतन शून्य है। अवकलन करें: V′(x) = 600−200x+12x²। शून्य रखने पर 3x²−50x+150 = 0, जिसके मूल (25 ± 5√7)/3 हैं। केवल x ≈ 3.92375 cm संभव है; दूसरा लगभग 12.74292 cm है। संभव प्रत्याशी पर आयाम लगभग 22.1525 cm गुणा 12.1525 cm गुणा 3.92375 cm और आयतन लगभग 1,056.31 cm³ है।
अधिकतम खोजने से पहले सीमाएँ तय करें
| कटाव x (सेमी) | आयतन (सेमी³) |
|---|---|
| 0 (सीमा) | 0 |
| 2 | 832 |
| 3.92375… | 1056.31… |
| 6 | 864 |
| 10 (सीमा) | 0 |
स्रोत: ओपनस्टैक्स: अनुप्रयुक्त अनुकूलन समस्याएँ ↗ · ओपनस्टैक्स: द्विघात समीकरण ↗
6. अधिकतम सिद्ध करें और परिशुद्धता समझें
प्रत्याशी जाँचे बिना डिब्बे की गणना अधूरी है। V′, 0 से 3.92375 के बीच धनात्मक और उसके बाद 10 तक ऋणात्मक है, इसलिए पूरे संभव अंतराल में आयतन पहले बढ़ता और फिर घटता है। सतत विस्तार में V(0) = V(10) = 0 है। ये बातें केवल स्थिर बिंदु नहीं, समग्र अधिकतम स्थापित करती हैं। संख्यात्मक जाँच में x = 2 पर 832 cm³ और x = 6 पर 864 cm³ मिलता है, दोनों कम हैं। वास्तविक शीट की मोटाई, मोड़ और कटाई की सीमित परिशुद्धता होती है; इतने दशमलव आदर्श मॉडल के हैं। डिजाइन पूर्णांकित करने के बाद आयतन फिर निकालना चाहिए। गणितीय अनुकूलन चुने लक्ष्य और मान्यताओं के भीतर सर्वोत्तम मान देता है। वह अपने-आप मजबूती, निर्माण की आसानी या बची सामग्री जैसे दूसरे लक्ष्यों को सर्वोत्तम नहीं बनाता।
अभ्यास करें
अभ्यास: बाड़ वाली तीन भुजाओं का अनुकूलन
- मॉडल आयताकार घेरे की एक भुजा पुरानी सीधी दीवार है और बाकी तीन पर कुल 40 m बाड़ है। दीवार के लंबवत दोनों भुजाएँ x और समानांतर बाड़ वाली भुजा y रखें।
- 2x+y = 40 से क्षेत्रफल A को x में लिखें। दोनों लंबाइयाँ ऋणेतर रहने का अंतराल बताएँ।
- अवकलन करें, आंतरिक स्थिर बिंदु निकालें और उसके क्षेत्रफल की तुलना सीमांत छोरों से करें।
- हल: y = 40−2x और 0 ≤ x ≤ 20 पर A(x) = 40x−2x²। A′ = 40−4x, x = 10 पर शून्य है; तब y = 20 और क्षेत्रफल 200 m²। अवकलज धनात्मक से ऋणात्मक होता है और दोनों छोरों पर क्षेत्रफल शून्य है। इससे तीन भुजाओं वाली बाड़ के इस मॉडल का अधिकतम सत्यापित होता है।
अपनी समझ जाँचें
अंतर भागफल में h = 0 सीधे क्यों नहीं रखते?
उससे शून्य से भाग आता है। अवकलज अशून्य h वाले मानों की सीमा है, शून्य पर मूल भिन्न का मान नहीं।
क्या f′(2), f(2)/2 के समान है?
सामान्यतः नहीं। अवकलज स्थानीय बदलाव मापता है। f(x) = x² में ये क्रमशः 4 और 2 हैं।
स्थिति का अवकलन मीटर प्रति सेकंड क्यों देता है?
अंतर भागफल मीटर में स्थिति बदलाव को सेकंड में समय बदलाव से भाग देता है; सीमा लेने पर इकाइयाँ बनी रहती हैं।
क्या हर शून्य अवकलज चरम मान बताता है?
नहीं। x³ का मूलबिंदु पर अवकलज शून्य है, पर वहाँ अधिकतम या न्यूनतम नहीं। आसपास का व्यवहार और प्रांत जाँचें।
डिब्बे का लगभग 12.74 cm मूल क्यों छोड़ते हैं?
उससे 20−2x ऋणात्मक होता है, इसलिए डिब्बे की चौड़ाई असंभव है। बीजीय प्रत्याशी को मूल ज्यामितीय प्रतिबंध पूरे करने चाहिए।
क्या अधिकतम आयतन हर उद्देश्य का सबसे अच्छा डिब्बा है?
नहीं। मजबूती, टिकाऊपन, लागत और निर्माण प्रतिबंध अलग लक्ष्य या शर्तें हैं, जो इस आदर्श मॉडल में नहीं हैं।