मुख्य विचार
अनुपात भाग देकर मात्राओं की तुलना करता है। तुल्य अनुपात में हर पद एक ही गुणक से बदलता है। इकाई दर एक इकाई के लिए मात्रा बताती है। सीधे समानुपात में मात्राएँ बदलने पर यह दर स्थिर रहती है।
1. अनुपात एक संबंध बताता है
एक काल्पनिक कला किट में 6 लाल और 9 नीले मनके हैं। लाल से नीले का अनुपात 6:9 है, जिसे “छह अनुपात नौ” पढ़ते हैं; बीच का चिह्न मात्राएँ अलग करता है। दोनों को 3 से भाग देने पर 2:3 है। हर तीन नीले मनकों पर दो लाल मनके हैं। इसका अर्थ किट में केवल पाँच मनके नहीं है: उसमें पाँच मनकों वाले ऐसे तीन समूह हैं।
क्रम महत्वपूर्ण है: नीले से लाल का अनुपात 3:2 है। कुल 15 मनके हैं, इसलिए लाल का भिन्न 6/15 = 2/5 है, 2/3 नहीं। सरल करने से पहले मात्राओं के नाम लिखें। तीन रंगों का 2:3:1 अनुपात कुल छह हिस्से रखता है; 30 मनकों में उसी क्रम में 10, 15 और 5 मनके होंगे। सभी हिस्सों को पाँच से गुणा करने से संबंध बना रहता है।
2. इकाइयाँ समान करें
दो लंबाइयों का शुद्ध अनुपात निकालने में एक ही इकाई लें। 1.5 मीटर और 50 सेंटीमीटर पट्टियों का अनुपात 1.5:50 नहीं है। एक मीटर में 100 सेंटीमीटर हैं, इसलिए पहली पट्टी 150 सेंटीमीटर है। अनुपात 150:50 = 3:1 है: पहली पट्टी तीन गुनी लंबी है। सेंटीमीटर को सेंटीमीटर से भाग देने के कारण इकाई कट जाती है।
दर अलग प्रकार की मात्राएँ तुलना करती है और उसकी संयुक्त इकाई रहती है। 1.5 घंटे में 18 किलोमीटर चलने पर 18 ÷ 1.5 = 12 किलोमीटर प्रति घंटा है। ÷ भाग और “प्रति” प्रत्येक के लिए दर्शाते हैं। यह यात्रा की औसत दर है, हर क्षण समान चाल का दावा नहीं। भाग के ऊपर और नीचे दोनों की इकाइयाँ लिखें।
3. हल किया उदाहरण: मिश्रण की मात्रा बदलें
एक काल्पनिक पेय में सांद्र द्रव और पानी का आयतन अनुपात 2:5 है। 1.4 लीटर बनाने के लिए कुल 2 + 5 = 7 हिस्से हैं। एक लीटर में 1000 मिलीलीटर हैं, इसलिए 1.4 लीटर = 1400 मिलीलीटर। एक हिस्सा 1400 ÷ 7 = 200 मिलीलीटर है। सांद्र द्रव 2 × 200 = 400 मिलीलीटर और पानी 5 × 200 = 1000 मिलीलीटर लें; × गुणा है।
योग और अनुपात जाँचें: 400 + 1000 = 1400 और 400:1000 सरल होकर 2:5 है। मिश्रण दोगुना करने के लिए 800 और 2000 मिलीलीटर चाहिए। मूल दोनों में 200 जोड़ें तो 600:1200 = 1:2 मिलेगा और अनुपात बदल जाएगा। समान संख्या जोड़ने से सामान्यतः अनुपात नहीं बचता। इस अभ्यास मॉडल में सामग्री के आयतन सीधे जुड़ते हुए माने हैं।
4. हल किया उदाहरण: इकाई कीमत की तुलना
काल्पनिक पैकेट A में एक सामग्री 750 ग्राम के लिए ₹90 की है; B में वही सामग्री 1.2 किलोग्राम के लिए ₹138 की है। ₹ रुपये का चिह्न है और एक किलोग्राम में 1000 ग्राम हैं। A की दर ₹90 ÷ 0.75 = ₹120 प्रति किलोग्राम है। B की ₹138 ÷ 1.2 = ₹115 प्रति किलोग्राम है। पैकेट की अधिक कुल कीमत के बावजूद B प्रति किलोग्राम ₹5 सस्ता है।
जाँच के लिए दोनों का समान 3 किलोग्राम द्रव्यमान लें: A की दर से ₹360 और B की दर से ₹345 हैं। अंतर ₹15 है। इकाई कीमत उपयोगिता का एक पक्ष बताती है। यदि खराब होने से पहले केवल 500 ग्राम इस्तेमाल होगा तो बड़ा पैकेट बेहतर होना आवश्यक नहीं। गणितीय तुलना और उपयोग की मान्यताओं को अलग रखें।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: अनुपात और दर ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: समानुपात और उसके उपयोग ↗
5. जाँचें कि दर स्थिर रहती है
n समान कॉपियों की संख्या और C कुल कीमत रुपये में मानें। प्रत्येक ₹18 की हो और अतिरिक्त शुल्क न हो तो C = 18n; साथ लिखे प्रतीक गुणा दर्शाते हैं। n = 1, 2 और 5 पर कीमतें 18, 36 और 90 हैं। कीमत को संख्या से भाग देने पर हमेशा 18 मिलता है। यह सीधा समानुपात है; मॉडल में शून्य कॉपी की कीमत शून्य है।
₹30 वितरण शुल्क से नियम C = 30 + 18n हो जाता है। दो कॉपियाँ ₹66 और चार ₹102 की हैं, जो ₹66 का दोगुना नहीं। प्रत्येक अतिरिक्त कॉपी से कीमत समान मात्रा से बढ़ती है, पर प्रति कॉपी कुल लागत बदलती है। स्थिर वृद्धि और स्थिर अनुपात अलग हैं। छूट या बदलती चाल होने पर भी समानुपाती मॉडल आगे बढ़ाने से पहले जाँचें।
दर को समान रखें
| कॉपी | कीमत | प्रति कॉपी कीमत |
|---|---|---|
| 3 | ₹90 | ₹90 ÷ 3 = ₹30 |
| 5 | ₹150 | ₹150 ÷ 5 = ₹30 |
| 8 | ₹240 | ₹240 ÷ 8 = ₹30 |
स्रोत: एनसीईआरटी कक्षा 8 गणित उदाहरणात्मक प्रश्न: अनुलोम और प्रतिलोम समानुपात ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: समानुपात और उसके उपयोग ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: रैखिक समीकरणों के आलेख ↗
6. अज्ञात मात्रा निकालें
आठ समान चादरों का द्रव्यमान 60 ग्राम है। समान आकार और सामग्री की 20 चादरों का द्रव्यमान 20 × (60 ÷ 8) = 150 ग्राम है। इकाई दर 7.5 ग्राम प्रति चादर है। दूसरा तरीका: संख्या का गुणक 20/8 = 2.5 है, इसलिए द्रव्यमान भी उसी से बढ़ेगा: 60 × 2.5 = 150। दोनों तरीके संबंध बचाते हैं।
60/8 = m/20 लिखें, जहाँ m ग्राम में अज्ञात द्रव्यमान है। दोनों पक्षों को 20 से गुणा करने पर m अलग मिलता है। दोनों ओर द्रव्यमान को चादर संख्या से भाग देना समानुपात को अर्थपूर्ण बनाता है। 60/8 = 20/m में केवल एक अनुपात उलटता है और इकाई का मेल बिगड़ता है। वज्र-गुणन तभी उपयोगी है जब समानुपात सही लिखा गया हो।
गणना की मात्रा और उपयोग योग्य पूरी वस्तुओं की संख्या अलग हो सकती हैं। मान लें काल्पनिक वाहन में 12 यात्री बैठते हैं और समूह में 45 लोग हैं। भाग देने पर 45/12 = 3.75 वाहन-क्षमता मिलती है, पर तीन वाहन केवल 36 स्थान देते हैं। चार वाहन 48 स्थान देते हैं और सब एक यात्रा में जा सकते हैं। क्षमता के अनुपात से ज़रूरत निकली; पूरे वाहन की शर्त अंतिम संख्या तय करती है। हमेशा पूछें कि भिन्न इकाइयाँ संभव हैं या नहीं और प्रश्न ठीक मात्रा, न्यूनतम क्षमता या सीमा के भीतर अधिकतम माँगता है।
7. व्युत्क्रम समानुपात और उसकी सीमाएँ
120 किलोमीटर की तय यात्रा में 30 और 60 किलोमीटर प्रति घंटा की स्थिर चाल पर समय 4 और 2 घंटे है। चाल दोगुनी करने पर समय आधा है क्योंकि चाल और समय का गुणनफल 120 किलोमीटर रहता है। यह व्युत्क्रम समानुपात है। इसमें दूरी तय और रुकना अनुपस्थित है। इसे समूह कार्य पर अपने-आप लागू न करें: लोग दोगुने करने पर समन्वय में देर या औज़ारों की कमी हो सकती है।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: अनुपात और दर ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: समानुपात और उसके उपयोग ↗
अभ्यास करें
बीजों का काल्पनिक मिश्रण तैयार करें
- कागज़ी अभ्यास में 2 किलोग्राम मिश्रण के लिए सूरजमुखी और बाजरे का द्रव्यमान अनुपात 3:7 है। कुल को ग्राम में बदलें और दोनों मात्राएँ निकालने से पहले एक हिस्सा निकालें।
- गुणक से 3 किलोग्राम की मात्राएँ निकालें। इस तरीके की तुलना प्रत्येक सामग्री की प्रति किलोग्राम मात्रा निकालने से करें।
- जाँचें: 2 किलोग्राम के लिए 600 और 1400 ग्राम; दोनों को 1.5 से गुणा करने पर 900 और 2100 ग्राम। समझाएँ कि मूल दोनों में 500 ग्राम जोड़ने से अनुपात क्यों बदलता है।
अपनी समझ जाँचें
समूह में 12 नए और 18 अनुभवी विद्यार्थी हैं। नए विद्यार्थियों का भिन्न भाग क्या है?
12/(12 + 18) = 2/5। हिस्से से हिस्से के 2:3 अनुपात में संदर्भ अलग है।
6 पेन ₹54 के और 10 पेन ₹85 के हों तो इकाई कीमत किसकी कम है?
दरें ₹9 और ₹8.50 प्रति पेन हैं, इसलिए दस पेन वाले पैकेट की इकाई कीमत कम है।
नक्शे में 1 सेंटीमीटर, 2 किलोमीटर को दर्शाता है। 3.5 सेंटीमीटर क्या दर्शाएगा?
3.5 × 2 = 7 किलोमीटर, यदि मापे गए मार्ग पर पैमाना समान है।
एक सेवा ₹40 और हर वस्तु पर ₹5 लेती है। क्या 8 वस्तुओं की कीमत 4 की दोगुनी होगी?
नहीं। चार की कीमत ₹60 और आठ की ₹80 है। तय शुल्क के कारण सीधा समानुपात नहीं है।
90 किलोमीटर यात्रा में 3 घंटे लगते हैं। उसी औसत दर से 5 घंटे में कितनी दूरी होगी?
दर 30 किलोमीटर प्रति घंटा है। औसत दर बनी रहे तो दूरी 150 किलोमीटर होगी।