मुख्य विचार
समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या न्यून कोण को भुजाओं के अनुपात से जोड़ते हैं। वे मापे गए कोणों से अज्ञात लंबाई निकालते हैं। त्रिभुज वास्तविक ज्यामिति से मेल खाना चाहिए; प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन अनुपात से कोण निकालते हैं।
1. आकार बदलने पर अनुपात समान रहते हैं
एक ही न्यून कोण वाले सभी समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं। उनकी लंबाइयाँ अलग हो सकती हैं, लेकिन संगत भुजाओं के अनुपात समान रहते हैं। कोण θ के सापेक्ष कर्ण समकोण के सामने होता है, लंब θ के सामने और आधार θ से लगा होता है। sin θ = लंब/कर्ण, cos θ = आधार/कर्ण और tan θ = लंब/आधार परिभाषित करें। दोनों लंबाइयों की इकाई एक हो तो अनुपात विमाहीन है। 3–4–5 त्रिभुज में θ को 3 लंबाई वाली भुजा के सामने लें: sin θ = 3/5, cos θ = 4/5 और tan θ = 3/4। सभी भुजाएँ दुगुनी करने पर अनुपात नहीं बदलते। दूसरा न्यून कोण चुनने पर लंब और आधार की भूमिकाएँ बदलती हैं। नाम चुने कोण पर निर्भर हैं, इस पर नहीं कि पन्ने पर कौन-सी भुजा क्षैतिज दिख रही है।
2. अनुपात जोड़ें और गणना उलटें
sin θ को cos θ से भाग देने पर tan θ मिलता है क्योंकि समान कर्ण कट जाता है। पाइथागोरस संबंध लंब²+आधार² = कर्ण² को कर्ण² से भाग देने पर sin²θ+cos²θ = 1 मिलता है। यहाँ sin²θ का अर्थ (sin θ)² है। ये संबंध गणना जाँचते हैं और याद करने का बोझ घटाते हैं। लंब/आधार = 0.75 हो तो न्यून कोण θ = arctan(0.75) ≈ 36.87° होगा। कैलकुलेटर में tan⁻¹ का अर्थ प्रतिलोम स्पर्शज्या है, 1/tan नहीं। प्रतिलोम ज्या और कोज्या भी अपने निर्धारित परिसर में कोण देती हैं। 10 cm कर्ण वाले त्रिभुज की सामने वाली भुजा 12 cm नहीं हो सकती; ज्या का 1.2 अनुपात असंभव आँकड़े दिखाता है। संख्याएँ रखने से पहले चुनें कि किस अनुपात में ज्ञात और अज्ञात भुजाएँ हैं, फिर प्रतीकों में समीकरण व्यवस्थित करें।
3. डिग्री और रेडियन एक ही घुमाव के माप हैं
पूरा घुमाव 360 डिग्री या 2π रेडियन है। एक रेडियन वह कोण है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई वाला चाप काटता है। इसलिए रेडियन में θ = चाप की लंबाई/त्रिज्या और चाप की लंबाई s = rθ है। डिग्री से रेडियन के लिए π/180 और रेडियन से डिग्री के लिए 180/π से गुणा करें। चौथाई घुमाव 90° = π/2 रेडियन है। 4 cm त्रिज्या वाले वृत्त में चाप 4(π/2) = 2π cm, लगभग 6.283 cm होगा। s = rθ में रेडियन आवश्यक है; सीधे 90 रखना गलत होगा। कैलकुलेटर चुने मोड के अनुसार निवेश पढ़ता है। मापन गणना से पहले डिग्री मोड में sin 30° का मान 0.5 जाँचें। मोड की गलती ऐसा अंक दे सकती है जो देखने में ठीक लगे, लेकिन प्रश्न से संबंधित न हो।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: कोण ↗
4. हल किया उदाहरण: प्रेक्षक की ऊँचाई जोड़ें
समतल जमीन के एक काल्पनिक सर्वेक्षण में शिक्षार्थी ऊर्ध्वाधर भवन से क्षैतिज रूप से 20 m दूर खड़ा है। आँख के स्तर से चोटी का उन्नयन कोण 35° है और आँख भवन के आधार स्तर से 1.5 m ऊपर है। आँख की क्षैतिज रेखा से ऊपर ऊँचाई y रखें। तब tan 35° = y/20, इसलिए y = 20 tan 35° ≈ 14.004 m। पूरी ऊँचाई H = y+1.5 ≈ 15.5 m है। 20 को कर्ण मानना अलग त्रिभुज बताएगा; यहाँ वह स्पष्टतः क्षैतिज दूरी है। आँख की ऊँचाई छोड़ने से उत्तर कम आएगा। मॉडल मानता है कि भवन ऊर्ध्वाधर है, जमीन के स्तर समान हैं और चोटी तथा आधार एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर हैं। रेखाचित्र इन मान्यताओं को दिखाता है और बताता है कि स्पर्शज्या उपयुक्त है या नहीं।
5. हल किया उदाहरण: आधार तक की दूरी अज्ञात हो
दो प्रेक्षण स्थान मीनार की ओर जाती समान स्तर की सीधी रेखा पर हैं। पास वाला आधार से x मीटर दूर है; दूसरा उससे 20 m और दूर है। दोनों की आँखें आधार स्तर से 1.5 m ऊपर हैं। उन्नयन कोण पास से 45° और दूर से 30° हैं। आँख से ऊपर मीनार की ऊँचाई y रखें। पास के त्रिभुज से y = x tan 45° = x। दूर वाले से y = (x+20)tan 30° = (x+20)/√3। बराबर रखने पर √3x = x+20, इसलिए x = 20/(√3−1) ≈ 27.321 m। अतः y ≈ 27.321 m और पूरी ऊँचाई लगभग 28.821 m है। दूर वाला अनुपात जाँचें: 27.321/47.321 ≈ 0.57735। दोनों त्रिभुजों में अज्ञात ऊँचाई समान है, इसलिए सीधे न मापी जा सकने वाली आधार दूरी को समीकरणों से हटाया जा सकता है।
एक ऊँचाई, दो त्रिभुज
6. अधिक दशमलव का अर्थ बेहतर माप नहीं
पहली ऊँचाई गणना में कई अंक मिले, लेकिन लगभग मापा कोण उन सभी का समर्थन नहीं करता। दूरी और आँख की ऊँचाई स्थिर रखकर 35° की जगह 34° लेने पर H ≈ 14.990 m और 36° लेने पर H ≈ 16.031 m मिलता है। इसलिए इस व्यवस्था में एक डिग्री बदलाव उत्तर को लगभग आधा मीटर बदलता है। ये संवेदनशीलता जाँच हैं, सांख्यिकीय विश्वास अंतराल नहीं: इनमें एक अनुमानित निवेश बदला गया है और दूसरी त्रुटियाँ छोड़ी गई हैं। ढलान वाली जमीन, अनिश्चित आधार दूरी या झुका उपकरण और त्रुटि जोड़ सकते हैं। उचित पूर्णांकित उत्तर दें और मान्यताएँ बताएँ। अभ्यास में दिए माप उपयोग किए जा सकते हैं या सुरक्षित सुलभ स्थान से माप लिया जा सकता है; प्रतिबंधित जगह जाना या चढ़ना आवश्यक नहीं। गणित माप तभी सुधारता है जब मॉडल ज्यामिति से मेल खाए।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: समकोण त्रिभुज की त्रिकोणमिति ↗ · ओपनस्टैक्स: कोण ↗
अभ्यास करें
अभ्यास: त्रिभुज हल करें और कोण जाँचें
- 8 cm क्षैतिज और 6 cm ऊर्ध्वाधर भुजा वाला समकोण त्रिभुज बनाएँ। θ को क्षैतिज भुजा के उस छोर पर रखें जो समकोण से दूर है।
- पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण निकालें। पहले सटीक भिन्न रखते हुए sin θ, cos θ और tan θ निकालें।
- प्रतिलोम स्पर्शज्या से θ डिग्री में निकालें। प्रतिलोम ज्या से उसकी जाँच करें और sin²θ+cos²θ जाँचें।
- हल: कर्ण √(64+36) = 10 cm है। अनुपात 0.6, 0.8 और 0.75 हैं। arctan(0.75) तथा arcsin(0.6) दोनों लगभग 36.87° देते हैं। साथ ही 0.36+0.64 = 1। दूसरा न्यून शीर्ष चुनने पर ज्या और कोज्या बदल जाते तथा कोण लगभग 53.13° होता।
अपनी समझ जाँचें
समरूप त्रिभुजों के त्रिकोणमितीय अनुपात समान क्यों हैं?
उनकी संगत लंबाइयाँ एक ही गुणक से बदलती हैं; अनुपात में वह गुणक कट जाता है।
tan⁻¹(0.75) क्या देता है?
चुनी कोण इकाई में वह कोण जिसकी स्पर्शज्या 0.75 है। यह व्युत्क्रम 1/0.75 नहीं है।
आँख की ऊँचाई क्यों जोड़ते हैं?
त्रिभुज की ऊर्ध्वाधर भुजा आँख की क्षैतिज रेखा से शुरू होती है। भवन उस रेखा से नीचे अपने आधार तक भी जाता है।
क्या चौथाई घुमाव के लिए s = rθ में 90 रख सकते हैं?
रेडियन में बदलने के बाद ही: θ = π/2। बिना परिवर्तन 90 रखना डिग्री और रेडियन को मिलाना है।
दो प्रेक्षण स्थानों की ऊँचाई अलग हो तो क्या होगा?
दोनों त्रिभुजों की ऊर्ध्वाधर भुजाएँ समान नहीं रहेंगी। उन्हें सीधे बराबर रखने के बजाय ऊँचाई अंतर शामिल करें।
क्या संवेदनशीलता सीमा में 95% समावेशन होता है?
नहीं। ऐसी प्रायिकता के लिए सांख्यिकीय त्रुटि मॉडल चाहिए। केवल पास के निवेश मान आज़माने से समावेशन का आश्वासन नहीं मिलता।