भिन्न, दशमलव और प्रतिशत: एक मात्रा के तीन रूप

1. पूरी मात्रा से शुरुआत करें

3/8 में तिरछी रेखा भाग दर्शाती है: तीन को आठ से भाग देना। ऊपर की संख्या 3 अंश और नीचे की संख्या 8 हर है। किसी पट्टी को आठ बराबर लंबाइयों में बाँटें तो तीन हिस्से उस पट्टी के 3/8 होंगे। बराबर हिस्से होना ज़रूरी है। आठ असमान टुकड़ों में से तीन चुनना कुल लंबाई का तीन-आठवाँ भाग होना आवश्यक नहीं है। हर शून्य नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है।

पूरी मात्रा एक संदर्भ है, हमेशा एक वस्तु नहीं। संदर्भ समूह में 24 पेंसिल हों तो उसका 3/8 भाग 9 पेंसिल होगा। भिन्न एक से बड़ा भी हो सकता है: 11/8 का अर्थ ग्यारह आठवें हिस्से, यानी 1 पूरा और 3/8 है। छोटे और बड़े कागज़ के आधे हिस्सों की तुलना में उनके मूल आकार चाहिए; अलग पूरी मात्राओं के बराबर भिन्न हिस्से मात्रा में बराबर नहीं होते।

स्रोत: एनसीईआरटी कक्षा 7 गणित उदाहरणात्मक प्रश्न: भिन्न और दशमलव ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: भिन्नों को समझें ↗

2. मात्रा बदले बिना रूप बदलें

अंश और हर दोनों को एक ही अशून्य संख्या से गुणा करने पर तुल्य भिन्न मिलता है। हर आठवें हिस्से के दो भाग करें तो 3/8 का रूप 6/16 हो जाता है। दोनों को एक ही उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग देना उलटी प्रक्रिया है: 18/24 में दोनों को 6 से भाग देने पर 3/4 मिलता है। भिन्न की रेखा पूरे अंश और हर को अलग करती है; केवल एक को बदलने से मान बदल जाएगा।

5/6 और 7/9 की तुलना के लिए दोनों को अठारहवें हिस्सों में लिखें: 5/6 = 15/18 और 7/9 = 14/18। पंद्रह बराबर हिस्से चौदह से अधिक हैं, इसलिए 5/6, 1/18 से बड़ा है। केवल अंश देखने पर उलटा निष्कर्ष मिलता। संख्या रेखा पर तुल्य भिन्न एक ही बिंदु पर होते हैं; इससे संख्या का नया नाम और नई संख्या अलग समझ में आते हैं।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: भिन्नों को समझें ↗

3. दशमलव स्थानीय मान के अनुसार लिखे भिन्न हैं

दशमलव बिंदु के बाद पहले तीन स्थान दसवाँ, सौवाँ और हज़ारवाँ भाग बताते हैं। इसलिए 0.375 का अर्थ 375/1000 है, जो सरल होने पर 3/8 है। उलटा रूप पाने के लिए 3 को 8 से भाग दें। दाईं ओर अंत में शून्य जोड़ने से दशमलव का मान नहीं बदलता: 0.6 = 0.60। इसलिए 0.6, 0.58 से बड़ा है, क्योंकि साठ सौवें हिस्से अट्ठावन से अधिक हैं।

कुछ दशमलव रूप अनंत तक चलते हैं। एक-तिहाई 0.333… है; बिंदु बताते हैं कि अंक आगे भी दोहरता है। 0.33 लिखना सन्निकटन है, बिल्कुल समान मान नहीं। ≈ का अर्थ लगभग बराबर है। 1/3 की तीन मात्राओं का योग ठीक 1 है, जबकि पहले 0.33 तक सन्निकटित की गई तीन मात्राओं का योग 0.99 है। जहाँ संभव हो, गणना में सटीक भिन्न रखें और अंतिम उत्तर को काम के अनुसार उचित दशमलव स्थान तक लिखें।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: दशमलव और भिन्न ↗

4. हल किया उदाहरण: लंबाइयाँ जोड़ना

एक काल्पनिक हस्तकला कार्य में एक सजावट के लिए 2/3 मीटर और दूसरी के लिए 3/4 मीटर फीता लगता है। मीटर लंबाई की इकाई है; दोनों माप एक ही इकाई में होने चाहिए। तिहाई और चौथाई हिस्सों का आकार अलग है, इसलिए जोड़ने से पहले बारहवें हिस्से बनाएँ: 2/3 = 8/12 और 3/4 = 9/12। कुल 17/12 मीटर, यानी 1 और 5/12 मीटर है। हरों को जोड़ने से गलत उत्तर 5/7 मिलता।

शुरुआती फीता 2 मीटर हो तो उसे 24/12 मीटर लिखें। शेष 24/12 − 17/12 = 7/12 मीटर है। इस्तेमाल और बची लंबाई जोड़कर जाँचें: 17/12 + 7/12 = 24/12 = 2। अनुमान भी मदद करता है: दोनों टुकड़े आधे मीटर से बड़े हैं, इसलिए उनका कुल एक मीटर से अधिक होना चाहिए।

गुणा अलग प्रश्न का उत्तर देता है: किसी मात्रा का भिन्न हिस्सा लेना। तीन-पाँचवें का दो-तिहाई लेने में तीन-पाँचवें को तीन बराबर समूहों में बाँटकर दो लें: 2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5। भाग पूछ सकता है कि कितने टुकड़े समाएँगे। 3/4 मीटर फीते में 1/8 मीटर के छह टुकड़े हैं, क्योंकि 3/4 = 6/8। इसलिए (3/4) ÷ (1/8) = 6। इससे समझ आता है कि एक से छोटी धनात्मक भिन्न से भाग देने पर संख्यात्मक उत्तर बढ़ सकता है: हम छोटी इकाइयाँ गिन रहे हैं, फीता लंबा नहीं कर रहे।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: असमान हर वाले भिन्नों का जोड़ और घटाव ↗ · एनसीईआरटी कक्षा 7 गणित उदाहरणात्मक प्रश्न: भिन्न और दशमलव ↗

5. प्रतिशत का अर्थ प्रति सौ है

% चिह्न का अर्थ प्रति सौ है: 37.5% = 37.5/100 = 0.375 = 3/8। किसी मात्रा का प्रतिशत निकालने के लिए उस मात्रा को प्रतिशत के दशमलव रूप से गुणा करें। 240 पृष्ठों का 15% निकालें: 0.15 × 240 = 36 पृष्ठ। यहाँ × गुणा है। मानसिक जाँच के लिए 15% को 10% और 5% में बाँटें: 24 + 12 = 36।

एक मात्रा दूसरी का कितना प्रतिशत है, यह जानने के लिए हिस्से को संदर्भ की पूरी मात्रा से भाग दें, फिर 100% से गुणा करें। 24 में से 18 कार्य पूरे हों तो 18/24 × 100% = 75% है। यह कार्य-पूर्णता तभी बताता है जब सभी 24 कार्य गिनती में शामिल हों। मात्रा संदर्भ से अधिक हो तो प्रतिशत 100% से ऊपर जा सकता है, जैसे 20 पुस्तकों के लक्ष्य की तुलना में 30 पुस्तकें।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: प्रतिशत को समझें ↗

6. हल किया उदाहरण: शुरुआती मान पहचानना

एक काल्पनिक क्लब में पहले 80 और बाद में 92 सदस्य हैं। वृद्धि 12 सदस्यों की है। प्रतिशत वृद्धि में मूल मान संदर्भ होता है: 12/80 × 100% = 15%। 92 से भाग देने पर अलग प्रश्न का उत्तर मिलेगा: वृद्धि अंतिम सदस्य संख्या का कितना हिस्सा है। हर चुनने से पहले हमेशा “किसका प्रतिशत” स्पष्ट करें।

अब मान लें कोई अंक-प्रतिशत 40% से 50% हुआ। यह 10 प्रतिशत अंकों की वृद्धि है, पर सापेक्ष वृद्धि 10/40 × 100% = 25% है। दोनों कथन अलग तुलना करते हैं। इसी तरह 100 को 20% घटाने पर 80 मिलता है; 80 को 20% बढ़ाने पर 96। प्रतिशत वही है, पर संदर्भ मात्रा बदल गई, इसलिए दोनों क्रियाएँ एक-दूसरे को समाप्त नहीं करतीं।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: प्रतिशत के व्यावहारिक प्रश्न ↗

7. ऐसा रूप चुनें जिससे तर्क स्पष्ट हो

बराबर हिस्से या सटीक भाग महत्वपूर्ण हों तो भिन्न चुनें, स्थानीय मान से गणना आसान हो तो दशमलव और स्पष्ट पूरी मात्राओं के अनुपात की तुलना करनी हो तो प्रतिशत। ये निरूपण के विकल्प हैं, सत्य के अलग प्रकार नहीं। उत्तर मानने से पहले इकाई, अनुमानित आकार और संदर्भ मात्रा जाँचें। 60 का 25% यदि 240 बताया जाए तो वह गलत है, क्योंकि धनात्मक मात्रा का चौथाई पूरी मात्रा से छोटा होगा।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: दशमलव और भिन्न ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: प्रतिशत को समझें ↗

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