मुख्य विचार
फलन प्रत्येक स्वीकृत निवेश को ठीक एक निर्गम देता है। उसका प्रांत स्वीकृत निवेशों का समुच्चय है; परिसर वास्तव में मिलने वाले निर्गमों का। संयोजन में भीतरी फलन का निर्गम बाहरी फलन का स्वीकृत निवेश होना चाहिए।
1. फलन में नियम और स्वीकृत निवेश दोनों होते हैं
फलन एक निश्चित संबद्धता है: उसके प्रांत के हर निवेश का ठीक एक निर्गम होता है। f(x) = x² में f फलन का नाम और x निवेश का स्थानधारक है; f(3) का अर्थ 9 है, f को 3 से गुणा करना नहीं। अलग निवेशों का निर्गम समान हो सकता है: f(3) और f(−3) दोनों 9 हैं। इससे परिभाषा नहीं टूटती। एक ही निवेश के दो अलग निर्गम हों तो परिभाषा टूटती है। इसलिए निवेश 4 को 2 और −2 दोनों देने वाला संबंध, कोई चुनाव तय किए बिना, फलन नहीं होगा। वर्गमूल फलन यही चुनाव करता है: √4 का मान ऋणेतर संख्या 2 है। ग्राफ ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण में सफल होता है यदि हर ऊर्ध्वाधर रेखा उसे अधिकतम एक बार काटे। सारणी और शब्दों में बताया नियम भी फलन परिभाषित कर सकते हैं; सूत्र केवल एक निरूपण है।
2. प्रांत, सहप्रांत और परिसर अलग समझें
प्रांत स्वीकृत निवेशों का समुच्चय है। सहप्रांत पहले से घोषित लक्ष्य समुच्चय है, जबकि परिसर वास्तव में प्राप्त निर्गमों का समुच्चय है। f वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं में f(x) = x² द्वारा परिभाषित हो तो प्रांत और सहप्रांत दोनों वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन परिसर [0, ∞) है। ऋणात्मक निर्गम कभी नहीं मिलता। प्रांत को [−2, 3] तक सीमित करें तो परिसर [0, 9] हो जाता है, क्योंकि शून्य मिलता है और सबसे बड़ा वर्ग 9 है। वर्ग कोष्ठक छोर को शामिल करते हैं; गोल कोष्ठक उसे बाहर रखते हैं। अनंत कोई शामिल किया जा सकने वाला छोर नहीं है। संदर्भ भी निवेश सीमित करता है: पूरे हो चुके पृष्ठों का मॉडल पूर्णांक स्वीकार करेगा, जबकि कपड़े की लंबाई का मॉडल धनात्मक भिन्न भी स्वीकार कर सकता है। केवल सूत्र पर निर्भर रहने के बजाय ये प्रतिबंध स्पष्ट लिखें।
3. बीजगणित करते समय प्रतिबंध बनाए रखें
वास्तविक संख्याओं में हर शून्य नहीं हो सकता और सम घात के मूल के भीतर ऋणात्मक व्यंजक नहीं हो सकता। इसलिए 1/(x−2) में x = 2 निषिद्ध है। √(9−x²) के लिए x² ≤ 9 चाहिए, अर्थात −3 ≤ x ≤ 3। कई शर्तें हों तो सभी एक साथ पूरी होनी चाहिए: उनका प्रतिच्छेद लें, संघ नहीं। सरलीकरण प्रतिबंध छिपा सकता है। (x²−1)/(x−1) का मान x+1 केवल x ≠ 1 के लिए है। x−1 काट देने से छूटे हुए निवेश पर मान नहीं बन जाता। इसका ग्राफ y = x+1 रेखा है जिसमें बिंदु (1, 2) हटा हुआ है। x = 1 पर नया मान तय करना फलन का विस्तार होगा, जो अलग निर्णय है। आगे सीमा और अवकलज पढ़ते समय यह अंतर काम आएगा।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रांत और परिसर ↗ · ओपनस्टैक्स: फलनों का संयोजन ↗
4. हल किया उदाहरण: लागत से पहले लंबाई बदलें
एक काल्पनिक कार्यशाला छपी पट्टी के लिए ₹20 तैयारी शुल्क और ₹5 प्रति मीटर लेती है। वह 0 से 10 मीटर तक की लंबाई स्वीकार करती है। शिक्षार्थी पट्टी को 240 सेंटीमीटर मापता है। सेंटीमीटर को मीटर में बदलने के लिए g(c) = c/100 और रुपये में लागत के लिए f(m) = 20+5m रखें। आवश्यक संयोजन f(g(c)) = 20+5(c/100) है, जहाँ 0 ≤ c ≤ 1,000। c = 240 पर g(240) = 2.4 और f(2.4) = ₹32 मिलता है। क्रम उलटने पर मीटर चाहने वाले नियम में सेंटीमीटर रखेंगे और फिर रुपये को लंबाई मान लेंगे। g(f(240)) बीजीय रूप में लिखा जा सकता है, पर इस मॉडल में उसका सही अर्थ नहीं है। गणना से पहले ही इकाइयाँ बताती हैं कि क्रम क्यों महत्त्वपूर्ण है। प्रांत कार्यशाला की बताई लंबाई सीमा को भी लागू करता है।
5. हल किया उदाहरण: संयोजन के दो प्रतिबंध
g(x) = √(x+1) और f(u) = 1/(u−2) लें। f(g(x)) = 1/(√(x+1)−2) के लिए पहले x ≥ −1 चाहिए ताकि भीतरी वर्गमूल मिले। फिर √(x+1) ≠ 2 चाहिए ताकि बाहरी हर अशून्य रहे। इससे x = 3 बाहर होता है। अतः प्रांत [−1, 3) ∪ (3, ∞) है। x = −1 पर निर्गम −1/2 मिलता है, इसलिए बायाँ छोर शामिल है। x = 8 पर निर्गम 1 है। x = 3 पर भीतरी निर्गम मिल जाता है, पर दूसरा चरण असफल होता है। इससे स्पष्ट है कि केवल पहले फलन को जाँचना पर्याप्त नहीं। दोनों मूल प्रांतों का सीधे प्रतिच्छेद लेना भी सही नहीं होगा: बाहरी प्रतिबंध g(x) पर लगता है, सीधे x पर नहीं।
हर चरण में निवेश स्वीकार होना चाहिए
- x से शुरू करेंपहले x ≥ −1 आवश्यक है।
- g(x) = √(x + 1)बीच का निर्गत ऋणात्मक नहीं है।
- f(u) = 1/(u − 2)u का 2 होना वर्जित है, इसलिए x का 3 होना भी।
- प्रांत[−1, 3) ∪ (3, ∞)
स्रोत: ओपनस्टैक्स: फलनों का संयोजन ↗ · ओपनस्टैक्स: प्रांत और परिसर ↗
6. फलन उलटने के लिए निवेश की अनन्य पहचान चाहिए
प्रतिलोम फलन निर्गम से मूल निवेश वापस पहचानता है। सभी वास्तविक संख्याओं पर f(x) = 3x+6 के लिए जोड़ और गुणा को उलटे क्रम में हटाएँ: f⁻¹(y) = (y−6)/3। दोनों संयोजन शुरुआती संख्या वापस देते हैं। f⁻¹ का अर्थ 1/f नहीं है। सभी वास्तविक संख्याओं पर वर्ग करने का प्रतिलोम फलन नहीं बनता, क्योंकि 9 जैसा निर्गम नहीं बताता कि निवेश 3 था या −3। वर्ग करने का प्रांत x ≥ 0 तक सीमित करें तो प्रतिलोम √y हो जाता है, जहाँ y ≥ 0। प्रतिलोम होने पर प्रांत और परिसर की भूमिकाएँ बदल जाती हैं। अंतिम जाँच के लिए एक निवेश को दोनों चरणों से आगे और वापस ले जाएँ, इकाइयाँ और स्वीकृत मान बनाए रखें। उलटी जा सकने वाली बीजीय प्रक्रिया को सूचना भी सुरक्षित रखनी चाहिए।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रतिलोम फलन ↗
अभ्यास करें
अभ्यास: दोनों क्रमों की तुलना करें
- वास्तविक संख्याओं पर f(x) = 2x+3 और g(x) = x² लें। f(g(2)) और g(f(2)) अलग निकालें; बीच का निर्गम भी लिखें।
- f(g(x)) और g(f(x)) के सूत्र लिखें। पूरे भीतरी व्यंजक को बाहरी नियम में रखने के बाद ही विस्तार करें।
- मूल निवेश x को [−1, 2] तक सीमित करें। दोनों संयोजनों के परिसर निकालें; जाँचें कि कोई आंतरिक निवेश चरम मान देता है या नहीं।
- हल: दोनों क्रमों के मान 11 और 49 हैं। सूत्र 2x²+3 तथा (2x+3)² हैं। [−1, 2] पर पहला 3 से 11 तक जाता है; न्यूनतम x = 0 पर है। दूसरा 1 से 49 तक जाता है क्योंकि 2x+3 का मान 1 से 7 तक बढ़ता है। केवल छोर जाँचने से पहला न्यूनतम छूट जाता।
अपनी समझ जाँचें
क्या दो निवेशों का एक निर्गम हो सकता है?
हाँ। फलन की शर्त हर निवेश का एक निर्गम है, हर निर्गम का एक निवेश नहीं। वर्ग करने वाला फलन अधिक कठोर दावे का प्रतिउदाहरण है।
यहाँ x = 4 पर √(9−x²) क्यों परिभाषित नहीं है?
मूल के भीतर −7 आता है, जिसका वास्तविक वर्गमूल नहीं है। यह पाठ वास्तविक संख्याओं पर है; संख्या पद्धति बदलने पर चर्चा बदलेगी।
क्या गुणनखंड काटने से छूटा बिंदु भर जाता है?
नहीं। काटना मानता है कि गुणनखंड अशून्य है। मूल व्यंजक में हर शून्य करने वाला निवेश अब भी निषिद्ध रहेगा।
बीच का निर्गम क्यों जाँचें?
भीतरी गणना सही हो सकती है, फिर भी उसका परिणाम बाहरी फलन के लिए निषिद्ध हो सकता है। संयोजन के दोनों चरण सही होने चाहिए।
क्या f⁻¹(x), f(x) का व्युत्क्रम है?
नहीं। यह f को उलटने वाला प्रतिलोम फलन है। व्युत्क्रम में 1 को निर्गम से भाग देते हैं; सामान्यतः वह अलग क्रिया है।
क्या केवल सूत्र वास्तविक उपयोग स्थापित कर सकते हैं?
नहीं। इकाइयाँ, निवेश प्रतिबंध और निर्गमों के अर्थ मेल खाने चाहिए। बीजगणित में संभव संयोजन भी बताए संदर्भ में अर्थहीन हो सकता है।