द्विघात समीकरण और मॉडल

1. पहचानें कि कौन-सा प्रश्न हल करना है

फलन q(x) = ax²+bx+c हर वास्तविक x को एक निर्गम देता है। समीकरण q(x) = 0 पूछता है कि कौन-से निवेश शून्य देते हैं। q का ग्राफ परवलय है; मूल उसके क्षैतिज अक्ष से कटान हैं। q(2) निकालना, q(x) = 2 कब होता है पूछना और q का सबसे बड़ा मान निकालना तीन अलग कार्य हैं। a अशून्य होना चाहिए, वरना वर्ग वाला पद समाप्त हो जाता है। a धनात्मक हो तो परवलय ऊपर और ऋणात्मक हो तो नीचे खुलता है। x में बराबर बदलाव से सामान्यतः q(x) में बराबर बदलाव नहीं आता। q(x) = x² में 0, 1, 2, 3 के निर्गम 0, 1, 4, 9 हैं; पहले अंतर 1, 3, 5 हैं। समान अंतर वाले निवेशों में स्थिर दूसरे अंतर द्विघात पैटर्न पहचानने में मदद करते हैं, लेकिन यह साबित नहीं करते कि भविष्य का हर मान भी उसी नियम से चलेगा।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: द्विघात फलन ↗

2. गुणनखंड एक गुणनफल को विकल्पों में बदलते हैं

x²−6x+5 = 0 के लिए दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल 5 और योग −6 हो: −1 और −5। तब (x−1)(x−5) = 0। वास्तविक संख्याओं का गुणनफल शून्य तभी होता है जब कम-से-कम एक गुणनखंड शून्य हो; इसलिए x = 1 या x = 5। दोनों को मूल समीकरण में रखकर जाँचें। शून्य गुणनफल नियम के लिए एक ओर शून्य होना चाहिए; uv = 10 से u = 10 या v = 10 निष्कर्ष नहीं निकलता। किसी चर से भाग देने से पहले देखें कि वह शून्य हो सकता है या नहीं। x²−4x = 0 को x से भाग देने पर x = 0 वाला मूल खो जाएगा। x(x−4) = 0 लिखने से 0 और 4 दोनों बचते हैं। सरल गुणनखंड मिलने पर यह तरीका तेज है, लेकिन वे तुरंत न दिखें तो इसका अर्थ यह नहीं कि समीकरण का कोई हल नहीं है।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: द्विघात समीकरण ↗

3. पूर्ण वर्ग से शीर्ष दिखाई देता है

x²−6x+5 को (x−3)²−4 लिखा जा सकता है; वर्ग खोलकर बराबरी जाँचें। वर्ग ऋणेतर होता है, इसलिए न्यूनतम मान x = 3 पर −4 है। शीर्ष (3, −4) है, जो दोनों मूलों 1 और 5 के बीच आता है। सामान्य रूप में ax²+bx+c = a(x−h)²+k, जहाँ h = −b/(2a) और k = q(h)। a > 0 हो तो k सभी वास्तविक निवेशों पर न्यूनतम, और a < 0 हो तो अधिकतम है। (x−3)²−4 = 0 हल करने के लिए 4 दूसरी ओर ले जाकर दोनों संभावनाएँ लें: x−3 = ±2। मुख्य वर्गमूल √4 बराबर 2 है, लेकिन वर्ग वाले समीकरण के हल में दोनों चिह्न लेने पड़ते हैं। संदर्भ का प्रांत शीर्ष को बाहर रख सकता है, इसलिए बिना प्रतिबंध वाला चरम मान हमेशा प्राप्त नहीं किया जा सकता।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: द्विघात फलन ↗ · ओपनस्टैक्स: द्विघात समीकरण ↗

4. द्विघात सूत्र संभावित मूलों का प्रकार बताता है

सामान्य समीकरण में पूर्ण वर्ग बनाने से x = (−b ± √(b²−4ac))/(2a) मिलता है। पूरे अंश को 2a से भाग दिया जाता है। विविक्तकर D = b²−4ac बताता है कि ग्राफ क्षैतिज अक्ष को दो बार काटेगा, एक बार छुएगा या वास्तविक तल में मिलेगा ही नहीं। D > 0 पर दो अलग वास्तविक मूल; D = 0 पर एक दोहराया वास्तविक मूल; D < 0 पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। x²−2x−1 = 0 में D = 8 और x = 1 ± √2, लगभग 2.414 तथा −0.414 हैं। आवश्यकता होने तक सटीक रूप बनाए रखें, अंत में सन्निकटन करें। x²+1 = 0 के लिए कोई वास्तविक x नहीं चलता क्योंकि x² बराबर −1 नहीं हो सकता। बड़ी संख्या पद्धति में सम्मिश्र संख्याएँ अतिरिक्त हल देती हैं; वह विस्तार इस पाठ से आगे है।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: द्विघात समीकरण ↗

5. हल किया उदाहरण: क्षेत्रफल से आयाम निकालें

एक काल्पनिक आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल 40 m² है और लंबाई चौड़ाई से 3 m अधिक है। चौड़ाई x मीटर रखें तो लंबाई x+3 होगी। मॉडल x(x+3) = 40 है, जहाँ x > 0। पद एक ओर करने पर x²+3x−40 = 0 मिलता है, जिसके गुणनखंड (x+8)(x−5) = 0 हैं। गणितीय मूल −8 और 5 हैं। −8 m चौड़ाई मॉडल के प्रांत से बाहर है, इसलिए बगीचा 5 m चौड़ा और 8 m लंबा होगा। क्षेत्रफल 5×8 = 40 m² तथा अंतर 8−5 = 3 m दोनों जाँचें। उसका परिमाप 26 m है, जो अलग मात्रा है। अस्वीकार किया मूल बीजगणित की गलती नहीं; वह समीकरण हल करता है, भौतिक समस्या नहीं। इकाइयाँ और प्रतिबंध मिलकर समाधान पूरा करते हैं।

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6. हल किया उदाहरण: मूल और अधिकतम अलग घटनाएँ बताते हैं

काल्पनिक ऊर्ध्वाधर गति मॉडल h(t) = −5t²+20t मीटर लें, जहाँ t जमीन से आरंभ होने के बाद सेकंड में समय है। यह नीचे की ओर स्थिर 10 m/s² त्वरण मानता है और वायु प्रतिरोध छोड़ता है। यह गणितीय उदाहरण है, वास्तविक माप या कुछ उछालने का निर्देश नहीं। गुणनखंड करने पर h(t) = −5t(t−4), इसलिए जमीन का स्तर t = 0 और t = 4 पर मिलता है। उड़ान के लिए 0 ≤ t ≤ 4 लें। पूर्ण वर्ग से h(t) = −5(t−2)²+20 मिलता है: t = 2 s पर अधिकतम ऊँचाई 20 m है। 15 m ऊँचाई दो बार, t = 1 तथा t = 3 पर मिलती है—एक बार ऊपर जाते और एक बार नीचे आते हुए। 4 सेकंड के बाद सूत्र ऋणात्मक ऊँचाई देता है; ऐसा विस्तार जमीन पर रुक जाने वाले इस मॉडल को नहीं बताता।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: द्विघात फलन ↗

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