मुख्य विचार
व्यंजक एक मात्रा बताता है; समीकरण दो मात्राओं की बराबरी कहता है। हल करना उन मानों को खोजना है जिनसे कथन सत्य हो। चर परिभाषित करें, संबंध लिखें, दोनों पक्षों पर मान्य क्रियाएँ करें और मूल परिस्थिति में उत्तर जाँचें।
1. मात्रा को स्पष्ट नाम दें
चर किसी संख्या का प्रतीक है। n को कॉपियों की संख्या मानें, सामान्य रूप से “कॉपियाँ” नहीं। हर कॉपी ₹12 की हो, जहाँ ₹ रुपये दर्शाता है, तो कुल कीमत 12n रुपये है। 12 के साथ n लिखने का अर्थ गुणा है, इसलिए 12n का मतलब 12 × n है। चर का नाम x होना ज़रूरी नहीं; अर्थपूर्ण अक्षर याद दिला सकता है कि क्या गिन रहे हैं।
स्वीकार्य मान परिस्थिति से आते हैं। कॉपियों की संख्या शून्य या धनात्मक पूर्ण संख्या होगी; लंबाई धनात्मक दशमलव भी हो सकती है। बीजगणितीय गणना ऐसा मान दे सकती है जो परिस्थिति में स्वीकार्य न हो। इकाई भी तय करें: t मिनट हो तो दो घंटे के कार्य के लिए t = 2 रखना गलत है, जब तक घंटे मिनट में न बदलें।
2. व्यंजक बताते हैं; समीकरण बराबरी कहते हैं
व्यंजक 12n + 30 कॉपियों की कीमत और तय ₹30 शुल्क बताता है। n तय होने तक उसका एक निश्चित संख्यात्मक मान नहीं है। समीकरण 12n + 30 = 126 कहता है कि यह कुल ₹126 है। बराबर का चिह्न दोनों पक्षों के समान मान का अर्थ रखता है; यह केवल “अगली गणना लिखो” नहीं है। समीकरण हल करने से कुल कीमत के अनुरूप कॉपियों की संख्या मिलती है।
केवल संकेत शब्द खोजने के बजाय संबंध समझें। “किसी संख्या के दुगुने से पाँच कम” को 2x − 5 लिखें; x वह संख्या और − घटाव है। “संख्या से पाँच कम का दुगुना” और “दुगुने से पाँच कम” अलग हैं। पहले का व्यंजक 2(x − 5) है। अस्पष्ट वाक्य को दोबारा लिखें या कोष्ठक लगाएँ। कोष्ठक बताते हैं कि किस मात्रा को एक समूह मानना है।
3. मान सावधानी से रखें और क्रिया-क्रम बनाएँ
x = 4 पर 3x + 2 का मान निकालने के लिए x की जगह 4 रखें: 3 × 4 + 2 = 14। कोष्ठक न बदलें तो जोड़ से पहले गुणा होता है। इसलिए x = 4 पर 3(x + 2) का मान 3 × 6 = 18 है। ये अलग नियम हैं। किसी सरलीकरण को जाँचना हो तो दूसरा मान भी आज़माएँ; एक मान पर बराबरी से हमेशा बराबरी सिद्ध नहीं होती।
ऋणात्मक मान रखते समय कोष्ठक चिह्न की गलतियाँ रोकते हैं। x = −2 पर 5 − 3x का रूप 5 − 3(−2) = 5 − (−6) = 11 है। ऋणात्मक मात्रा घटाने से परिणाम बढ़ता है। पर्याप्त बीच के चरण लिखें ताकि दिखे कि ऋण चिह्न किसी संख्या का भाग है या घटाव की क्रिया है।
4. सजातीय पद जोड़ें और गुणा बाँटें
जोड़ या घटाव से जुड़े हिस्से पद हैं। 4x + 3 + 2x में 4x और 2x एक ही तरह की मात्रा गिनते हैं, इसलिए मिलकर 6x होते हैं; परिणाम 6x + 3 है। x को गुणा करने वाली संख्याएँ गुणांक हैं। 6x + 3 को 9x नहीं बना सकते, क्योंकि 3 अचर है, x की तीन प्रतियाँ नहीं।
वितरण बराबर समूह गिनने से आता है: 3(x + 4) में x के तीन और 4 के तीन समूह हैं, इसलिए 3x + 12 है। घटाव के साथ 5(x − 2) = 5x − 10। कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हर पद पर लागू होता है: 9 − (x + 2) = 9 − x − 2 = 7 − x। x = 3 पर जाँचें: मूल और सरल दोनों का मान 4 है।
5. हल किया उदाहरण: दोनों पक्षों पर उलटी क्रियाएँ
12n + 30 = 126 पर लौटें। दोनों पक्षों से 30 घटाएँ; 12n = 96 बचता है। समान घटाव बराबरी बनाए रखता है, जैसे संतुलित तराजू के दोनों पलड़ों से बराबर द्रव्यमान हटाना। दोनों पक्षों को 12 से भाग दें; n = 8 मिलता है। 12 शून्य नहीं है, इसलिए भाग मान्य है। मूल समीकरण में जाँचें: 12 × 8 + 30 = 96 + 30 = 126।
उत्तर आठ कॉपियाँ है, केवल “8” नहीं। केवल 12n को भाग देकर दूसरे पदों को जस का तस न छोड़ें। पूरे समीकरण को पहले 12 से भाग दे सकते हैं, पर 30 और 126 भी भाग होंगे। “दूसरी तरफ ले जाओ” कहने से वास्तविक क्रिया छिप जाती है; क्रिया का नाम लिखना चिह्न की गलती रोकता है।
दशमलव गुणांकों पर भी बराबरी के वही नियम काम करते हैं। काल्पनिक लंबाई गणना में x मीटर में लंबाई मानें और 0.5x + 1.2 = 4.7 हल करें; हर पद मीटर में है। 1.2 घटाने पर 0.5x = 3.5; 0.5 से भाग देने पर x = 7 मीटर। आधे से भाग देना संख्या दोगुनी करता है, जो उचित है क्योंकि 3.5 मीटर, x का केवल आधा है। 0.5 × 7 + 1.2 = 4.7 जाँचें। यह न मानें कि भाग देने से उत्तर हमेशा छोटा होगा।
दोनों पक्ष बराबर रखें
- 3x + 4 = 19समीकरण से शुरू करें।
- 3x = 15दोनों पक्षों से 4 घटाएँ।
- x = 5दोनों पक्षों को 3 से भाग दें।
- 3 × 5 + 4 = 19मूल समीकरण में जाँचें।
स्रोत: एनसीईआरटी कक्षा 8 गणित उदाहरणात्मक प्रश्न: एक चर वाले रैखिक समीकरण ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: घटाव और जोड़ से समीकरण हल करना ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: भाग और गुणा से समीकरण हल करना ↗
6. हल किया उदाहरण: दोनों पक्षों में अज्ञात
दो काल्पनिक छपाई योजनाएँ p पृष्ठों के लिए 4p + 20 और 6p + 8 रुपये लेती हैं। समान कीमत पाने के लिए 4p + 20 = 6p + 8 लिखें। दोनों तरफ से 4p घटाएँ: 20 = 2p + 8। 8 घटाएँ: 12 = 2p। 2 से भाग दें: p = 6। दोनों में ₹44 लगेंगे, क्योंकि 4 × 6 + 20 = 6 × 6 + 8 = 44।
यह केवल बराबरी का प्रश्न हल करता है। 3 पृष्ठों पर कीमतें ₹32 और ₹26; 10 पर ₹60 और ₹68 हैं। सस्ती योजना बदलती है क्योंकि एक की शुरुआती कीमत अधिक, पर प्रति पृष्ठ वृद्धि कम है। हल के दोनों ओर मान जाँचने से बराबरी के बिंदु की उपयोगिता समझ आती है; यह हर खरीद प्रश्न का उत्तर नहीं है।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: दोनों ओर चर और अचर वाले समीकरण ↗
7. हल ऋणात्मक, अनुपस्थित या सभी मान हो सकता है
x + 7 = 3 से x = −4 मिलता है, जो संख्या या तापमान परिवर्तन के लिए मान्य है, कॉपियों की संख्या के लिए नहीं। 2x + 3 = 2x + 8 में 2x घटाने पर 3 = 8 है, इसलिए कोई मान काम नहीं करता। 2(x + 3) = 2x + 6 में दोनों पक्ष हर स्वीकार्य x पर बराबर हैं। हर समीकरण का ठीक एक हल होना आवश्यक नहीं; संबंध परिणाम तय करता है।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: दोनों ओर चर और अचर वाले समीकरण ↗
अभ्यास करें
काल्पनिक कार्यशाला का बजट बनाएँ
- कमरे की कीमत ₹180 और प्रत्येक प्रतिभागी की सामग्री ₹25 है। n को प्रतिभागियों की संख्या मानें। कुल कीमत का व्यंजक और ₹480 कुल के लिए समीकरण लिखें।
- पहले तय कीमत हटाकर फिर प्रति व्यक्ति कीमत से भाग देकर हल करें। समझाएँ कि दोनों पक्षों पर समान क्रिया क्यों करते हैं।
- 180 + 25n = 480 में n = 12 जाँचें। उपलब्ध कुल ₹500 हो तो समीकरण 12.8 देता है, इसलिए अधिकतम 12 पूरे प्रतिभागी आ सकते हैं; 13 की कीमत ₹505 होगी।
अपनी समझ जाँचें
x = 3 पर 2(x + 5) निकालें। 2x + 5 अलग क्यों है?
पहला 16 और दूसरा 11 है। पहले में x और 5 दोनों 2 से गुणा होते हैं।
7a − 2a + 4 सरल करें। क्या उत्तर 9a हो सकता है?
यह 5a + 4 है। अचर 4 को 4a मानकर a वाले पदों में नहीं जोड़ सकते।
3x − 7 = 11 हल करके जाँचें।
7 जोड़ने पर 3x = 18; 3 से भाग देने पर x = 6। जाँच: 18 − 7 = 11।
क्या 5x + 2 = 5x − 1 का हल है?
नहीं। 5x घटाने पर हर प्रस्तावित x के लिए गलत कथन 2 = −1 मिलता है।
पूरी वस्तुओं की संख्या का हल 4.5 है। उत्तर देने से पहले क्या जाँचेंगे?
मॉडल और प्रश्न जाँचें। पूरी वस्तुओं से ठीक बराबरी असंभव हो सकती है; बजट के भीतर अधिकतम संख्या हो तो नीचे की पूर्ण संख्या लेनी पड़ सकती है।