ज्यामिति: सीमा, सतह और स्थान मापें

1. मापन को प्रश्न से मिलाएँ

मीटर, जिसे m लिखते हैं, लंबाई मापता है। वर्ग मीटर, m², एक मीटर भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल है; ऊपर का 2 लंबाई की दो दिशाओं के गुणन को बताता है। घन मीटर, m³, एक मीटर किनारों वाले घन का आयतन है। बाड़ के लिए मीटर, फर्श ढकने के लिए वर्ग मीटर और डिब्बे के भीतर स्थान के लिए घन मीटर चाहिए।

इकाई परिवर्तन विमा के साथ बदलता है। एक मीटर 100 सेंटीमीटर है, पर एक वर्ग मीटर 100 × 100 = 10,000 वर्ग सेंटीमीटर है। एक घन मीटर 100 × 100 × 100 = 1,000,000 घन सेंटीमीटर है। सूत्र लगाने से पहले सभी लंबाइयाँ एक इकाई में बदलें। मीटर और सेंटीमीटर मिलाकर गुणा करने से दिखने में सही पर गलत अर्थ वाली संख्या आ सकती है।

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2. गिनती से आयत के सूत्र बनाएँ

l आयत की लंबाई और w चौड़ाई मानें; दोनों की इकाई समान रखें। विपरीत भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए परिमाप P = 2l + 2w = 2(l + w)। क्षेत्रफल A = lw है क्योंकि इकाई वर्गों के l स्तंभ और w पंक्तियाँ l × w वर्ग बनाती हैं। 7 मीटर लंबा और 4 मीटर चौड़ा आयत P = 22 मीटर और A = 28 वर्ग मीटर देता है। ये अलग गुण मापते हैं।

बराबर परिमाप से बराबर क्षेत्रफल सुनिश्चित नहीं होता। 9 गुणा 2 के आयत का परिमाप भी 22, पर क्षेत्रफल 18 है। दोनों को वर्ग जाल पर बनाकर अंतर देखें। पहले आयत में 1 मीटर का द्वार बिना बाड़ छोड़ें तो बाड़ 22 − 1 = 21 मीटर होगी; द्वार फर्श का क्षेत्रफल नहीं बदलता। सामग्री निकालने से पहले शामिल सीमाएँ पहचानें।

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3. आधार, ऊँचाई और त्रिज्या समझें

त्रिभुज का क्षेत्रफल A = bh/2 है, जहाँ b चुना आधार और h सामने के शीर्ष से उस आधार की रेखा तक लंबवत दूरी है। लंबवत का अर्थ समकोण पर मिलना है। उसकी दो समान प्रतियाँ दोगुने क्षेत्रफल का समांतर चतुर्भुज बनाती हैं। तिरछी भुजा अपने-आप ऊँचाई नहीं है। आधार 8 और लंबवत ऊँचाई 5 सेंटीमीटर हो तो क्षेत्रफल 20 वर्ग सेंटीमीटर है।

वृत्त में त्रिज्या r केंद्र से सीमा तक और व्यास 2r होता है। अचर π, जिसे पाई पढ़ते हैं, लगभग 3.14159 है। वृत्त का परिमाप यानी परिधि 2πr और क्षेत्रफल πr² है, जहाँ r² का अर्थ r × r है। 3 मीटर त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि 6π मीटर, लगभग 18.85 और क्षेत्रफल 9π वर्ग मीटर, लगभग 28.27 है। अंतिम सन्निकटन तक π बनाए रखें।

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4. हल किया उदाहरण: L आकार का फर्श

एक काल्पनिक फर्श 8 मीटर गुणा 6 मीटर आयत से बना है, जिसके ऊपर-दाएँ कोने से 3 मीटर गुणा 2 मीटर आयत हटा है। क्षेत्रफल 8 × 6 − 3 × 2 = 48 − 6 = 42 वर्ग मीटर है। दूसरे तरीके में बचे फर्श को 8 गुणा 4 और 5 गुणा 2 आयतों में बाँटें: 32 + 10 = 42। दोनों का मेल विभाजन की जाँच करता है।

सीमा की छह भुजाएँ जोड़ें: 8 + 4 + 3 + 2 + 5 + 6 = 28 मीटर। हटाए आयत का पूरा परिमाप न घटाएँ: उसकी दो भुजाएँ मूल बाहरी सीमा के हिस्सों की जगह लेती हैं। 0.5 मीटर भुजा वाली वर्ग टाइल 0.25 वर्ग मीटर ढकती है। आदर्श व्यवस्था में ठीक 42 ÷ 0.25 = 168 टाइलें चाहिए; वास्तविक खरीद में टूटने या फिट करने की हानि अलग जोड़ी जा सकती है।

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5. हल किया उदाहरण: आयताकार डिब्बे की क्षमता

घनाभ आयताकार फलकों वाला डिब्बा है। l, w और h उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई हैं। आयतन V = lwh, lw आधार क्षेत्रफल वाली h परतें रखने से मिलता है। एक काल्पनिक टंकी के भीतरी माप 40 गुणा 25 गुणा 30 सेंटीमीटर हैं। पूरी क्षमता 40 × 25 × 30 = 30,000 घन सेंटीमीटर है। 1000 घन सेंटीमीटर एक लीटर है, इसलिए क्षमता 30 लीटर है।

24 सेंटीमीटर जलगहराई पर पानी 40 × 25 × 24 = 24,000 घन सेंटीमीटर, यानी 24 लीटर घेरेगा। शेष क्षमता 6 लीटर है। ऊँचाई के भिन्न से जाँचें: 24/30 = 4/5 और 30 लीटर का 4/5, 24 लीटर है। यह छोटा तरीका इसलिए काम करता है क्योंकि हर ऊँचाई पर टंकी के क्षैतिज अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है।

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6. पृष्ठीय क्षेत्रफल डिब्बे का अलग प्रश्न हल करता है

पृष्ठीय क्षेत्रफल फलकों को मापता है, भीतर के स्थान को नहीं। आदर्श बंद घनाभ के विपरीत फलकों के जोड़ों के क्षेत्रफल lw, lh और wh हैं, इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(lw + lh + wh) है। 40, 25, 30 सेंटीमीटर से 2(1000 + 1200 + 750) = 5900 वर्ग सेंटीमीटर मिलता है। ऊपर का फलक न हो तो उसके 1000 वर्ग सेंटीमीटर घटाकर 4900 बचते हैं।

इस आदर्श गणना में दीवार की मोटाई नगण्य मानी है। वास्तविक निर्माण में क्षमता के भीतरी माप और काटने के बाहरी माप अलग होते हैं तथा जोड़ या चढ़ाव चाहिए हो सकते हैं। लीटर में आयतन सीधे चादर सामग्री की मात्रा नहीं बताता। ढके जाने वाले फलक बनाएँ, हर एक को एक बार गिनें और कुल के साथ वर्ग इकाई लिखें।

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7. आकार बढ़ने पर तीनों माप अलग बदलते हैं

आकृति की हर लंबाई दोगुनी करें तो सीमा की हर लंबाई दोगुनी, क्षेत्रफल चार गुना और आयतन आठ गुना होता है। 2 गुणा 3 आयत का क्षेत्रफल 6 है; उसका दोगुना 4 गुणा 6 रूप 24 देता है। भुजा 2 के घन का आयतन 8; भुजा 4 पर 64 है। गुणक को एक, दो या तीन बार गुणा करने से ये परिणाम आते हैं। इसलिए पैमाना जाने बिना बड़े चित्र से माप नहीं ले सकते।

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