मुख्य विचार
माध्य कुल को बराबर बाँटता है, माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का बीच ढूँढ़ती है और बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला मान है। फैलाव के माप बताते हैं कि अवलोकन कितने अलग हैं। उपयोगी विवरण में उचित केंद्रीय मान, फैलाव और आँकड़े जुटाने का संदर्भ साथ होते हैं।
1. पहले समझें कि हर अवलोकन क्या है
आँकड़ों का समूह दर्ज मानों का संग्रह है। गणना से पहले चर, इकाई, अध्ययन का समूह और संग्रह विधि पहचानें। पुस्तकालय पहुँचने का समय हो तो मिनट लिखें, मिनट और घंटे मिलाकर नहीं। तय करें कि प्रतीक्षा समय शामिल है या नहीं। एक व्यक्ति की यात्रा के आठ माप और आठ व्यक्तियों के एक-एक माप अलग प्रश्नों का उत्तर देते हैं।
गायब आँकड़े अपने-आप शून्य नहीं होते। यात्रा समय का खाली स्थान अज्ञात मान बताता है; शून्य का अर्थ यात्रा में समय न लगना है। सार निकालने से पहले दोहरी प्रविष्टियाँ, असंभव ऋणात्मक समय और अलग इकाइयाँ जाँचें, पर केवल उत्तर बदलने के कारण असुविधाजनक मान न हटाएँ। किसी सुधार और उसके प्रमाण का रिकॉर्ड रखें।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक सांख्यिकी: आँकड़ों की केंद्रीय प्रवृत्ति ↗ · ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक सांख्यिकी: आँकड़े, नमूना और उनमें परिवर्तन ↗
2. हल किया उदाहरण: माध्य कुल बराबर बाँटता है
मिनट में ये काल्पनिक यात्रा समय लें: 8, 10, 10, 11, 12, 13, 16, 40। n अवलोकनों की संख्या है, इसलिए n = 8। अंकगणितीय माध्य मानों के योग को n से भाग देने पर मिलता है। योग 120 मिनट है, इसलिए 120 ÷ 8 = 15 मिनट। आठों यात्राओं का कुल समय बराबर बाँटें तो हर हिस्से में यही माध्य होगा।
किसी यात्री को ठीक 15 मिनट लगना ज़रूरी नहीं। माध्य हर मान को उपयोग करता है, 40 मिनट की यात्रा को भी। उसके बिना सात अवलोकनों का योग 80 होगा और माध्य लगभग 11.43 मिनट। तुलना संवेदनशीलता बताती है; 40 हटाने का कारण नहीं। बस छूटने से लंबी यात्रा वास्तविक और प्रासंगिक आँकड़ा हो सकती है।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक सांख्यिकी: आँकड़ों की केंद्रीय प्रवृत्ति ↗
3. माध्यिका और बहुलक पहचानें
माध्यिका निकालने से पहले मान छोटे से बड़े क्रम में रखें। आठ अवलोकनों में बीच के दो स्थान चौथा और पाँचवाँ हैं, जिनके मान 11 और 12 हैं। उनका माध्य (11 + 12)/2 = 11.5 मिनट है। विषम संख्या में एक मध्य स्थान होता है। माध्यिका केंद्रीय स्थिति बताती है; सबसे बड़े मान की अत्यधिक दूरी का उस पर माध्य जितना असर नहीं पड़ता।
बहुलक 10 मिनट है क्योंकि वह दो बार और बाकी प्रत्येक मान एक बार आया है। किसी समूह में कई बहुलक हो सकते हैं या कोई एक सबसे अधिक बार आने वाला मान नहीं हो सकता। पसंदीदा गतिविधि जैसी श्रेणी का माध्य सामान्यतः अर्थहीन है, पर बहुलक सबसे आम उत्तर बताता है। जब पाठक को माप जानना ज़रूरी हो तो केवल “औसत” न कहें।
स्रोत: एनसीईआरटी कक्षा 7 गणित उदाहरणात्मक प्रश्न: आँकड़ों का प्रबंधन ↗ · ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक सांख्यिकी: आँकड़ों की केंद्रीय प्रवृत्ति ↗
4. बीच के आधे आँकड़ों सहित फैलाव मापें
परास अधिकतम में से न्यूनतम घटाने पर मिलता है: यात्रा समय में 40 − 8 = 32 मिनट। यह पूरा विस्तार बताता है, पर केवल दो अवलोकनों पर निर्भर है। चतुर्थक निचले और ऊपरी हिस्सों की स्थिति बताते हैं। इस पाठ में सम संख्या वाले क्रमबद्ध समूह को बराबर आधों में बाँटकर हर आधे की माध्यिका लें। नियम बताना ज़रूरी है क्योंकि सॉफ़्टवेयर के चतुर्थक नियम अलग हो सकते हैं।
निचला आधा 8, 10, 10, 11 है, इसलिए निचला चतुर्थक Q₁ = 10। ऊपरी आधा 12, 13, 16, 40 है, इसलिए ऊपरी चतुर्थक Q₃ = 14.5। 1 और 3 चतुर्थकों के नाम हैं। अंतरचतुर्थक परास, संक्षेप में IQR, Q₃ − Q₁ = 4.5 मिनट है। यह दोनों चतुर्थकों के बीच का विस्तार है और पूरे परास की तुलना में अकेले 40 मिनट के मान से कम प्रभावित होता है।
एक ही आँकड़े, अलग सार
| माप | 2, 4, 4, 6, 9 के लिए |
|---|---|
| माध्य | (2 + 4 + 4 + 6 + 9) ÷ 5 = 5 |
| माध्यिका | 4 — क्रम में बीच का मान |
| बहुलक | 4 — सबसे बार आने वाला मान |
| परास | 9 − 2 = 7 |
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक सांख्यिकी: आँकड़ों का फैलाव ↗ · ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक सांख्यिकी: आँकड़ों में स्थिति के माप ↗
5. हल किया उदाहरण: समान माध्य, अलग नियमितता
काल्पनिक वितरण समय मिनट में हैं: A: 9, 10, 10, 10, 11 और B: 2, 6, 10, 14, 18। दोनों का योग 50 और माध्य 10 है। दोनों की माध्यिका भी 10 है। पर A का परास 2 और B का 16 है। समय की नियमितता के अनुसार योजना बनानी हो तो अलग मान वह अंतर दिखाते हैं जिसे अकेला माध्य छिपाता है।
एक अन्य फैलाव माप माध्य से दूरियों का औसत लेता है। A की दूरियाँ 1, 0, 0, 0, 1 हैं, इसलिए 2/5 = 0.4 मिनट। B की 8, 4, 0, 4, 8 हैं, इसलिए 24/5 = 4.8 मिनट। यह माध्य के सापेक्ष माध्य निरपेक्ष विचलन है; “निरपेक्ष” का अर्थ दूरी को गैर-ऋणात्मक लेना है। चिह्न सहित अंतर जोड़ने पर दोनों में शून्य मिलेगा और फैलाव छिप जाएगा।
6. समूह के आकार को भार दें
तीन विद्यार्थियों का पठन माध्य 20 मिनट और सात का 30 मिनट है। संयुक्त माध्य (20 + 30)/2 = 25 नहीं, क्योंकि समूहों के आकार अलग हैं। कुल निकालें: 3 × 20 = 60 मिनट और 7 × 30 = 210 मिनट। दस विद्यार्थियों में माध्य (60 + 210)/10 = 27 मिनट है। बड़ा समूह अधिक अवलोकन देता है।
बारंबारता सारणी में भी यही तर्क है। 0, 1, 2 और 3 पुस्तकें क्रमशः 2, 5, 2 और 1 विद्यार्थियों ने ली हों तो हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा करें। कुल पुस्तकें 0 × 2 + 1 × 5 + 2 × 2 + 3 × 1 = 12, विद्यार्थी दस, इसलिए माध्य 1.2 पुस्तकें है। बारंबारताएँ गिनें, केवल चार अलग सूचीबद्ध मान नहीं।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक सांख्यिकी: आँकड़ों की केंद्रीय प्रवृत्ति ↗
7. आँकड़ों के अनुसार निष्कर्ष दें
यात्रा उदाहरण में “माध्यिका 11.5 मिनट, मान 8 से 40 के बीच, आठ काल्पनिक यात्राएँ” केवल “औसत 15” से अधिक बताता है। स्पष्ट करें कि अंतराल 8 से 40 है, जबकि परास की चौड़ाई 32 है। संभव हो तो बिंदु आलेख या छोटी पूरी सूची दिखाएँ। एक मोहल्ले या एक समय का नमूना अपने-आप सभी यात्रियों का प्रतिनिधि नहीं। अधिक गणना पक्षपाती चयन को ठीक नहीं करती।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक सांख्यिकी: आँकड़ों की केंद्रीय प्रवृत्ति ↗ · ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक सांख्यिकी: आँकड़ों का फैलाव ↗ · ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक सांख्यिकी: आँकड़े, नमूना और उनमें परिवर्तन ↗
अभ्यास करें
पढ़ाई समय के दो विवरण तुलना करें
- रोज़ पढ़ने के काल्पनिक समय लें: 10, 15, 15, 20, 20, 25, 25, 70 मिनट। सभी अवलोकन रखते हुए माध्य, माध्यिका और परास निकालें।
- आधों की माध्यिका वाले बताए नियम से दोनों चतुर्थक और IQR निकालें। नाम वाली संख्या रेखा पर हर अवलोकन का एक बिंदु लगाएँ।
- जाँचें: योग 200, माध्य 25, माध्यिका 20, परास 60, Q₁ = 15, Q₃ = 25, IQR = 10 मिनट। माध्य अधिक होने का कारण समझाएँ और सामान्य दिन के लिए उचित माप बताएँ।
अपनी समझ जाँचें
9, 2, 7, 4, 6 की माध्यिका निकालें।
क्रम 2, 4, 6, 7, 9 है। मध्य मान 6 है।
चार अवलोकनों का माध्य 12 है। योग क्या है?
4 × 12 = 48। माध्य को संख्या से गुणा करने पर कुल मिलता है।
हर अवलोकन 5 बढ़े तो माध्य और परास का क्या होगा?
माध्य 5 बढ़ेगा; परास समान रहेगा क्योंकि दोनों छोर बराबर बढ़े हैं।
पाँच विद्यार्थियों का माध्य 6 पुस्तकें और पंद्रह का 2 है। संयुक्त माध्य क्या है?
(5 × 6 + 15 × 2)/20 = 60/20 = 3 पुस्तकें, 4 नहीं।
क्या केवल पुस्तकालय आने वालों का सर्वे सभी निवासियों की पढ़ने की आदतों का विश्वसनीय अनुमान देगा?
अपने-आप नहीं। पुस्तकालय आने वाले अन्य निवासियों से अलग हो सकते हैं; गणना सही होने पर भी नमूने की विधि अनुमान बिगाड़ सकती है।