रैखिक समीकरण और आलेख: स्थिर परिवर्तन दर समझें

1. हर बिंदु दो जानकारियाँ देता है

निर्देशांक जाल में क्षैतिज x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर y-अक्ष होते हैं। वे मूलबिंदु (0, 0) पर मिलते हैं। क्रमित जोड़ा (x, y) पहले क्षैतिज और फिर ऊर्ध्वाधर निर्देशांक बताता है। (3, 5) अंकित करने के लिए मूलबिंदु से तीन x-इकाइयाँ दाएँ और पाँच y-इकाइयाँ ऊपर जाएँ। क्रम उलटने पर (5, 3) मिलता है, जो सामान्यतः अलग बिंदु है।

धनात्मक निर्देशांक दाएँ और ऊपर, ऋणात्मक बाएँ और नीचे जाते हैं। (−2, 4) दो इकाइयाँ बाएँ और चार ऊपर है। हर अक्ष का नाम और नियमित पैमाना होना चाहिए, पर दोनों पैमाने एक जैसे होना ज़रूरी नहीं। क्षैतिज एक खाना एक मिनट और ऊर्ध्वाधर एक खाना दस लीटर हो सकता है। केवल चित्र के कोण से संख्यात्मक बदलाव न आँकें; नाम और पैमाना पढ़ें।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: आयताकार निर्देशांक पद्धति ↗

2. नियम से सारणी बनाएँ

y = 2x + 3 लें, जहाँ x इनपुट और y आउटपुट है। 2x का अर्थ x को दो से गुणा करना है। x के मान 0, 1, 2 और 3 रखने पर y के मान 3, 5, 7 और 9 हैं। बिंदु (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9) मिलते हैं। वे सीधी रेखा में हैं क्योंकि इनपुट के बराबर कदम आउटपुट में बराबर कदम देते हैं।

कोई बिंदु आलेख पर तभी है जब उसके निर्देशांक समीकरण संतुष्ट करें। (4, 11) जाँचें: 2 × 4 + 3 = 11, इसलिए वह रेखा पर है। (4, 10) के लिए भी नियम 11 देता है, इसलिए वह नहीं है। दो अलग बिंदु एक सीधी रेखा तय करते हैं; तीसरा बिंदु निकालना मान रखने या अंकित करने की गलती जाँचने में उपयोगी है।

स्रोत: एनसीईआरटी कक्षा 8 गणित उदाहरणात्मक प्रश्न: आलेखों का परिचय ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: रैखिक समीकरणों के आलेख ↗

3. ढाल परिवर्तन का अनुपात है

ऊर्ध्वाधर न होने वाली रेखा की ढाल y में परिवर्तन को x के संबंधित परिवर्तन से भाग देने पर मिलती है। दो बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) लिखें; छोटे 1 और 2 बिंदुओं के नाम हैं, घात नहीं। तब ढाल m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)। दोनों घटावों में बिंदुओं का क्रम समान रखें। हर शून्य हो तो दोनों का क्षैतिज निर्देशांक एक ही है।

(1, 5) और (3, 9) के बीच m = (9 − 5)/(3 − 1) = 4/2 = 2। हर इनपुट इकाई पर आउटपुट दो इकाइयाँ बढ़ता है। ऋणात्मक ढाल में इनपुट बढ़ने पर आउटपुट घटता है। क्षैतिज रेखा की ढाल शून्य है। ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित है और उसे m के सीमित मान से y = mx + b नहीं लिख सकते।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक बीजगणित: रेखा के समीकरण का ढाल-अंतःखंड रूप ↗

4. अक्ष पर प्रतिच्छेद शुरुआती मान बताता है

y = mx + b में b, y-अक्ष का अंतःखंड है: x = 0 पर y का मान। इसलिए y = 2x + 3 का शुरुआती बिंदु (0, 3) है। x-अक्ष पर प्रतिच्छेद में y = 0 होता है। 0 = 2x + 3 से x = −1.5, इसलिए रेखा x-अक्ष से (−1.5, 0) पर मिलती है। प्रतिच्छेद अनुप्रयोग के उपयोगी हिस्से से बाहर भी हो सकता है।

सीधे समानुपाती संबंध में b = 0 होता है और रेखा मूलबिंदु से गुजरती है। b शून्य न हो तो भी सीधी रेखा रैखिक है, लेकिन सीधी समानुपाती नहीं। y = 2x + 3 में x दोगुना करने से सामान्यतः y दोगुना नहीं होता। शुल्क, जलस्तर या दूरी की तुलना में दर और शुरुआती मान अलग पहचानना ज़रूरी है।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: अक्षों पर प्रतिच्छेद से आलेख ↗ · ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक बीजगणित: रेखा के समीकरण का ढाल-अंतःखंड रूप ↗

5. हल किया उदाहरण: स्थिर दर से खाली टंकी

एक काल्पनिक टंकी में 180 लीटर है और हर मिनट 20 लीटर निकलता है। t बीता समय मिनट में और V बचा आयतन लीटर में मानें। नियम V = 180 − 20t है। t = 0, 2, 4 और 6 पर आयतन 180, 140, 100 और 60 लीटर है। समय क्षैतिज और आयतन ऊर्ध्वाधर अंकित करें। ढाल −20 लीटर प्रति मिनट और ऊर्ध्वाधर अंतःखंड 180 लीटर है।

खाली होने का समय पाने के लिए V = 0 रखें: 180 − 20t = 0 से t = 9 मिनट। जाँचें: 20 × 9 = 180 लीटर निकला। भौतिक मॉडल 0 से 9 मिनट तक लागू है। t = 12 तक रेखा बढ़ाने पर −60 लीटर मिलता है, जिसका बचे पानी के रूप में अर्थ नहीं। खाली होने के बाद दूसरा नियम चाहिए; टंकी अनुपस्थित पानी खोती नहीं रह सकती।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: रैखिक समीकरणों के आलेख ↗ · ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक बीजगणित: रेखा के समीकरण का ढाल-अंतःखंड रूप ↗

6. हल किया उदाहरण: दो अवलोकनों से नियम

एक काल्पनिक उपकरण किराया मॉडल 2 घंटे के ₹70 और 6 घंटे के ₹130 लेता है। तय शुरुआती शुल्क और स्थिर प्रति घंटा दर मानें। अतिरिक्त 4 घंटे के ₹60 हैं, इसलिए ढाल 60/4 = ₹15 प्रति घंटा है। h घंटे और C रुपये में कीमत मानें। C = 15h + b लिखें। (2, 70) रखने पर 70 = 30 + b, इसलिए b = 40।

नियम C = 15h + 40, 4 घंटे के लिए ₹100 बताता है। दूसरा अवलोकन जाँचें: 15 × 6 + 40 = 130। दो बिंदु संभावित सीधी रेखा तय करते हैं, पर यह सिद्ध नहीं करते कि सेवा हमेशा उसका पालन करेगी। न्यूनतम समय, पूरे घंटों का बिल या दैनिक अधिकतम शुल्क नियम बदल सकते हैं। बिंदुओं से बना समीकरण और सत्यापित नीति अलग प्रमाण हैं।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रारंभिक बीजगणित: रेखा के समीकरण का ढाल-अंतःखंड रूप ↗

7. परिस्थिति अनुमति दे तभी बिंदु जोड़ें

समय और आयतन बीच के मान ले सकते हैं, इसलिए टंकी मॉडल में सतत रेखाखंड उचित है। पूरी कॉपियों की संख्या पूर्णांक है, इसलिए खरीद आलेख में अलग बिंदु हो सकते हैं, भले पैटर्न रेखा जैसा हो। अंतर्वेशन ज्ञात इनपुटों के बीच अनुमान है; बहिर्वेशन उनसे बाहर जाता है और स्थिर परिस्थितियों की अधिक माँग करता है। काल्पनिक आँकड़े स्पष्ट बताएँ और आलेख से अनुमान लगाने से पहले मान्यताएँ लिखें।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: रैखिक समीकरणों के आलेख ↗

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