मुख्य विचार
विश्वास अंतराल अनुमान में मानक त्रुटि और चुने समावेशन स्तर पर आधारित त्रुटि सीमा जोड़ता-घटाता है। मॉडल और प्रतिचयन की मान्यताएँ सही हों तो 95% विधि बार-बार लिए प्रतिदर्शों के लगभग 95% अंतरालों में स्थिर समष्टि प्राचल को शामिल करती है।
1. अनुमान से पहले लक्ष्य स्पष्ट करें
समष्टि प्राचल परिभाषित समष्टि की स्थिर विशेषता है, जैसे माध्य μ या किसी गुण वाले लोगों का अनुपात p। x̄ या p̂ जैसा प्रतिदर्श सांख्यक चुने प्रतिदर्श के साथ बदलता है। स्पष्ट करें कि समष्टि में कौन या क्या शामिल है तथा किस अवधि की बात है। “इस सत्र में नामांकित सभी शिक्षार्थी” और “आज पुस्तकालय आए लोग” अलग हैं। यादृच्छिक चयन प्रक्रिया प्रतिचयन परिवर्तनशीलता आँकने का आधार देती है। स्वैच्छिक ऑनलाइन मतदान में समय, उपकरण या प्रबल राय वाले लोग अधिक आ सकते हैं, चाहे उत्तर हजारों हों। उत्तर न मिलना और गलत मापन दूसरी समस्याएँ हैं। यहाँ सरल सूत्र समान समष्टि मॉडल से स्वतंत्र प्रेक्षण मानते हैं। पूरी कक्षाओं के समूह, एक व्यक्ति के दोहराए माप, असमान चयन संभावना या समष्टि का बड़ा हिस्सा चुनने पर उस रूपरेखा के अनुरूप विधि चाहिए।
2. मानक विचलन और मानक त्रुटि अलग परिवर्तनशीलता बताते हैं
समष्टि मानक विचलन σ व्यक्तिगत प्रेक्षणों के बीच परिवर्तनशीलता बताता है। प्रतिदर्श माध्य की मानक त्रुटि समान आकार के बार-बार लिए प्रतिदर्शों के माध्यों की परिवर्तनशीलता बताती है। समान सीमित प्रसरण वाले n स्वतंत्र प्रेक्षणों में SE(x̄) = σ/√n। σ अज्ञात हो तो प्रतिदर्श मानक विचलन s से s/√n उसका अनुमान है। s = 12 और n = 36 में अनुमानित मानक त्रुटि 2 है, 12 या 12/36 नहीं। मूल परिवर्तनशीलता समान रहे तो n चार गुना करने पर मानक त्रुटि आधी होती है। इससे व्यक्तियों या वस्तुओं की अपनी परिवर्तनशीलता नहीं घटती। उचित शर्तों में केंद्रीय सीमा प्रमेय बड़े n पर प्रतिदर्श माध्यों का वितरण लगभग प्रसामान्य बनाता है। वह मूल प्रेक्षणों को प्रसामान्य नहीं बनाता; ऐसा कोई प्रतिदर्श आकार नियम नहीं जो हर भारी पूँछ वाले या निर्भर आँकड़े को सुधार दे।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रतिदर्श माध्यों के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय ↗
3. विश्वास विधि की विशेषता है
कल्पना करें कि हर बार नया यादृच्छिक प्रतिदर्श लेकर उसी नियम से अंतराल बनाया जाता है। 95% समावेशन वाली विधि लंबे क्रम में लगभग 95% अंतरालों के भीतर स्थिर वास्तविक प्राचल रखती है। हर 100 अंतराल के समूह में ठीक 95 सफल हों, यह आवश्यक नहीं। एक अंतराल निकल जाने पर वह प्राचल को शामिल करता है या नहीं करता। इस आवृत्तिवादी अर्थ में 95% पहले से स्थिर अंतराल के भीतर स्थिर प्राचल होने की प्रायिकता नहीं है। इसका यह अर्थ भी नहीं कि 95% प्रेक्षण उसमें हैं, या अनुमान के बिल्कुल सही होने की संभावना 95% है। समान मॉडल और आँकड़ों पर सामान्यतः चौड़े अंतराल अधिक समावेशन देते हैं। चुना विश्वास स्तर विधि की विशेषता है, अध्ययन की गुणवत्ता का अंक नहीं।
स्रोत: NIST: माध्य की विश्वास सीमाएँ ↗ · ओपनस्टैक्स: प्रसामान्य वितरण से समष्टि माध्य ↗
4. हल किया उदाहरण: t से माध्य का अंतराल
गुणवत्ता जाँच के काल्पनिक प्रतिदर्श में स्वतंत्र रूप से चुने 36 पुर्जे हैं। लक्ष्य द्रव्यमान से उनके चिह्न सहित विचलनों का माध्य 52 mg और प्रतिदर्श मानक विचलन 12 mg है। इस शिक्षण गणना के लिए विचलनों की समष्टि को अज्ञात माध्य और प्रसरण वाला प्रसामान्य मॉडल मानें। द्विपक्षीय 95% t अंतराल x̄ ± t* s/√n है, जिसमें n−1 = 35 स्वतंत्रता कोटियाँ हैं। आवश्यक t मान लगभग 2.0301 है। इसलिए SE = 12/6 = 2 mg और त्रुटि सीमा 2.0301×2 ≈ 4.0602 mg। समष्टि के माध्य विचलन का अंतराल लगभग [47.94, 56.06] mg है। यह अगले पुर्जे के विचलन का अंतराल नहीं। t वितरण, σ की जगह s के अनुमान का हिसाब रखता है; उसकी भारी पूँछों के कारण निर्णायक मान प्रसामान्य 1.96 से थोड़ा बड़ा है।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: स्टूडेंट t वितरण से समष्टि माध्य का आकलन ↗ · NIST: माध्य की विश्वास सीमाएँ ↗
5. हल किया उदाहरण: अनुपात का सन्निकट अंतराल
400 शिक्षार्थियों के काल्पनिक यादृच्छिक प्रतिदर्श में 240 बताते हैं कि उन्हें पढ़ने की मेज उपलब्ध है। एक समान प्रायिकता p वाले स्वतंत्र हाँ/नहीं प्रेक्षण, प्रतिनिधिक चयन सूची और सही उत्तर मानें। तब p̂ = 240/400 = 0.60। सरल प्रसामान्य सन्निकटन की मानक त्रुटि √(p̂(1−p̂)/n) = √(0.24/400) ≈ 0.02449 है। नाममात्र 95% अंतराल 0.60 ± 1.96×0.02449, अर्थात लगभग [0.5520, 0.6480]: 55.2% से 64.8% है। त्रुटि सीमा लगभग 4.8 प्रतिशत अंक है। यहाँ देखी दोनों संख्याएँ, 240 हाँ और 160 नहीं, पर्याप्त बड़ी हैं। छोटे प्रतिदर्श या शून्य अथवा एक के पास अनुपात में यह परिचित सन्निकटन खराब काम कर सकता है; वहाँ विल्सन या अन्य उपयुक्त द्विपद अंतराल बेहतर हैं। जिनके पास उत्तर देने का साधन नहीं था, उनके छूटने को गणना नहीं सुधार सकती।
अंतराल समष्टि की एक राशि का अनुमान है
| मॉडल और लक्ष्य | अनुमान | 95% अंतराल |
|---|---|---|
| प्रसामान्य समष्टि का माध्य विचलन, n = 36 | 52 मिग्रा; SE = 2 मिग्रा | 47.94–56.06 मिग्रा (t) |
| समान हाँ/नहीं अनुपात, n = 400 | 0.60; SE ≈ 0.02449 | 55.2%–64.8% (लगभग) |
स्रोत: ओपनस्टैक्स: समष्टि अनुपात ↗ · NIST: अनुपातों के विश्वास अंतराल ↗
6. परिशुद्धता के साथ संभावित पक्षपात देखें
यादृच्छिक त्रुटि इस बदलाव से जुड़ी है कि कौन-से प्रेक्षण प्रतिदर्श में आ गए। पक्षपात प्रक्रिया की व्यवस्थित प्रवृत्ति है जो लक्ष्य से चूकती है। बहुत बड़ा सुविधाजनक प्रतिदर्श गलत समष्टि मात्रा के आसपास संकरा अंतराल दे सकता है। अनुमान, अंतराल, आकार, लक्ष्य समष्टि, चयन प्रक्रिया और मान्यताएँ साथ बताएँ। उत्तर कुछ स्कूलों के समूहों में जुड़े हों तो हर शिक्षार्थी को स्वतंत्र मानना अनिश्चितता कम दिखा सकता है। सीमित समष्टि का बड़ा हिस्सा वापस रखे बिना चुनने पर उचित सीमित-समष्टि संशोधन महत्त्वपूर्ण हो सकता है। भारित सर्वेक्षण में रूपरेखा के अनुरूप विश्लेषण चाहिए। ये प्रायिकता मॉडल के बदलाव हैं, मनमाने दशमलव या गढ़ी हुई अतिरिक्त सीमा जोड़ने के कारण नहीं। उपयोगी निष्कर्ष बताता है कि अंतराल क्या संबोधित करता है तथा कौन-सी मापन, समावेशन और मॉडल संबंधी अनिश्चितताएँ बाहर हैं।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: आँकड़े, प्रतिचयन और परिवर्तनशीलता ↗ · NIST: माध्य की विश्वास सीमाएँ ↗
अभ्यास करें
अभ्यास: प्रतिदर्श आकार से ज्ञात-σ अंतराल कैसे बदलता है
- ज्ञात समष्टि मानक विचलन σ = 10 इकाई वाले स्वतंत्र प्रसामान्य प्रेक्षण मानें। n = 100 प्रतिदर्श का माध्य 80 है। प्रसामान्य निर्णायक मान 1.96 लें।
- मानक त्रुटि, त्रुटि सीमा और द्विपक्षीय 95% अंतराल निकालें। समझाएँ कि ज्ञात σ से यह प्रसामान्य गणना क्यों उचित है।
- तुलना के लिए n = 400 और प्रतिदर्श माध्य फिर 80 मानें। नई त्रुटि सीमा निकालें और चौड़ाइयाँ तुलना करें।
- हल: n = 100 पर SE = 1 और सीमा 1.96, इसलिए [78.04, 81.96]। n = 400 पर SE = 0.5 और सीमा 0.98, इसलिए [79.02, 80.98]। चार गुने स्वतंत्र प्रेक्षण चौड़ाई आधी करते हैं। समान माध्य तुलना की मान्यता है; वास्तविक नया प्रतिदर्श फिर 80 दे, यह आवश्यक नहीं।
अपनी समझ जाँचें
क्या मानक त्रुटि व्यक्तिगत प्रेक्षणों का फैलाव बताती है?
नहीं। वह अनुमानक की प्रतिचयन परिवर्तनशीलता बताती है। मानक विचलन स्वयं प्रेक्षणों का फैलाव बताता है।
क्या 95% विश्वास का अर्थ 95% शिक्षार्थी अंतराल में हैं?
नहीं। अंतराल समष्टि प्राचल, जैसे माध्य या अनुपात, का है; व्यक्तियों को समेटने वाली सीमा नहीं।
t उदाहरण में n−1 स्वतंत्रता कोटियाँ क्यों हैं?
माध्य का अनुमान लगाने पर प्रतिदर्श विचलनों का योग शून्य होना पड़ता है। केवल n−1 विचलन स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।
क्या पक्षपाती प्रतिदर्श बढ़ाने से पक्षपात हट जाएगा?
अपने-आप नहीं। यादृच्छिक बदलाव घट सकता है, जबकि वही व्यवस्थित बहिष्करण या मापन समस्या बनी रहती है।
क्या 0.048 सीमा यहाँ 4.8% सापेक्ष त्रुटि है?
अनुपात पैमाने पर वह 4.8 प्रतिशत अंक है। 0.60 के सापेक्ष लगभग 8% है, जो अलग तुलना है।
क्या विश्वास अंतराल प्रतिचयन मान्यताओं को सत्यापित कर सकता है?
नहीं। उसकी गणना पहले से एक मॉडल मानती है। चयन, निर्भरता, मापन और समष्टि समावेशन की अलग जाँच चाहिए।