मुख्य विचार
P(B) > 0 के लिए P(A|B) = P(A∩B)/P(B): केवल B पर ध्यान देकर उसमें A का हिस्सा निकालें। स्वतंत्रता का अर्थ है कि एक घटना जानने से दूसरी की प्रायिकता न बदले। बेयस नियम आधार दरों को शामिल करके शर्त का क्रम पलटता है।
1. शर्त लगाने से संदर्भ समुच्चय बदलता है
A और B घटनाएँ हों तथा A∩B का अर्थ दोनों का होना हो। P(A|B) में खड़ी रेखा “B दिए होने पर” पढ़ी जाती है। वह B को संदर्भ समूह बनाती है, इसलिए हर P(B) है, P(A) नहीं। परिभाषा के लिए P(B) > 0 चाहिए। समान संभावना वाले सीमित परिणामों में दोनों घटनाओं वाले परिणाम गिनकर B के परिणामों की संख्या से भाग दें। शर्त का अर्थ आवश्यक रूप से यह नहीं कि एक घटना समय में पहले हुई। शिक्षार्थी का पाठ्यक्रम जानने से उसके पहले किए चुनावों की प्रायिकता बदल सकती है। शर्त हमेशा कारण भी नहीं बताती: आँकड़ों को केवल कार्यशाला में आए लोगों तक सीमित करना, सभी को कार्यशाला में भेजने का प्रयोग नहीं है। सांख्यिकीय तुलना और किसी हस्तक्षेप के प्रभाव का दावा अलग रखें।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रायिकता के दो मूल नियम ↗ · ओपनस्टैक्स: आँकड़े, प्रतिचयन और परिवर्तनशीलता ↗
2. हल किया उदाहरण: हर बदलने से उत्तर बदलता है
100 शिक्षार्थियों का काल्पनिक रिकॉर्ड लें। साठ अभ्यास कार्यशाला में आए (A); पचास बाद की परीक्षा में सफल हुए (B); बयालीस दोनों में थे। सारणी पूरी करें: आने वालों में 42 सफल और 18 असफल; न आने वाले 40 में 8 सफल और 32 असफल। तब P(B|A) = 42/60 = 0.70, जबकि P(A|B) = 42/50 = 0.84। दोनों में साझा संख्या समान है, लेकिन प्रश्न अलग हैं। कुल सफलता प्रायिकता 50/100 = 0.50 है। इस काल्पनिक रिकॉर्ड में उपस्थिति और सफलता का संबंध है, पर पूर्व तैयारी, समय या प्रेरणा के अंतर उसका कुछ हिस्सा समझा सकते हैं। केवल सारणी यह सिद्ध नहीं करती कि कार्यशाला ने अंतर पैदा किया। भिन्नों का अर्थ निकालने से पहले हर पंक्ति और स्तंभ का कुल जाँचें।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: द्विमार्गी सारणियाँ ↗ · ओपनस्टैक्स: आँकड़े, प्रतिचयन और परिवर्तनशीलता ↗
3. स्वतंत्रता केवल सामान्य धारणा नहीं है
A और B स्वतंत्र हैं जब P(A∩B) = P(A)P(B)। शर्त वाली प्रायिकता धनात्मक हो तो यह P(A|B) = P(A) के बराबर है। कार्यशाला रिकॉर्ड में P(A∩B) = 0.42, जबकि P(A)P(B) = 0.60×0.50 = 0.30। इसलिए वे स्वतंत्र नहीं हैं। परस्पर अपवर्जी घटनाएँ साथ नहीं हो सकतीं, इसलिए उनके प्रतिच्छेद की प्रायिकता शून्य है। दोनों की प्रायिकता धनात्मक हो तो वे स्वतंत्र भी नहीं हो सकतीं: उनका गुणनफल धनात्मक होगा। एक को देखना दूसरी को असंभव कर देता है। स्वतंत्रता उचित यादृच्छिक प्रक्रिया या घोषित मॉडल से आनी चाहिए, केवल घटनाओं के अलग नाम होने से नहीं। देखी आवृत्तियाँ निर्भरता सुझा सकती हैं, लेकिन सीमित प्रतिदर्श में उतार-चढ़ाव होता है; छोटी सारणी में बिल्कुल बराबरी मिलना बड़ी समष्टि के बारे में सार्वभौमिक प्रमाण नहीं है।
4. एक मार्ग पर गुणा करें; अलग मार्ग जोड़ें
सप्रतिबंध परिभाषा को बदलने पर P(A∩B) = P(A)P(B|A) मिलता है। इस गुणा नियम का दूसरा गुणक सप्रतिबंध है; उसे P(B) से बदलने के लिए स्वतंत्रता चाहिए। डिब्बे में तीन लाल और दो नीली गोटियाँ मानें, प्रत्येक के चुने जाने की संभावना समान हो। वापस रखे बिना दो लाल की प्रायिकता (3/5)(2/4) = 3/10 है। वापस रखकर नया यादृच्छिक चयन करने पर (3/5)(3/5) = 9/25 है। वृक्ष में एक बिंदु से निकलती शाखाओं की प्रायिकताएँ एक तक जुड़नी चाहिए; पूरा मार्ग प्रतिच्छेद बताता है। वांछित घटना तक कई असंयुक्त मार्ग जाते हों तो उनकी प्रायिकताएँ जोड़ें। “एक लाल और एक नीली” के दो क्रम हैं: लाल फिर नीली, और नीली फिर लाल। एक मार्ग छोड़ देने से पूरे प्रश्न की जगह केवल खास क्रम वाली घटना गिनी जाएगी।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रायिकता के दो मूल नियम ↗ · ओपनस्टैक्स: स्वतंत्र और परस्पर अपवर्जी घटनाएँ ↗
5. हल किया उदाहरण: अच्छा जाँच यंत्र भी कई गलत चेतावनियाँ दे सकता है
1,000 पुर्जों की काल्पनिक जाँच लें: 20 खराब और 980 सही हैं। यंत्र 18 खराब पुर्जों को चिह्नित करता है और 2 छोड़ देता है; वह 49 सही पुर्जों को भी चिह्नित करता है तथा 931 को नहीं करता। खराब पुर्जों में चेतावनी दर 18/20 = 90% है। सही पुर्जों में गलत चेतावनी दर 49/980 = 5% है। फिर भी कुल 67 चिह्नित पुर्जों में केवल 18 खराब हैं: P(खराब|चिह्नित) = 18/67 ≈ 26.87%। गलत चेतावनी पैदा करने के लिए सही पुर्जों की संख्या बहुत अधिक है। 90% उलटी शर्त वाले प्रश्न का उत्तर है; वह चिह्नित पुर्जे के खराब होने की प्रायिकता नहीं। यह उदाहरण हर समझाता है, किसी वास्तविक यंत्र की क्षमता का प्रमाण नहीं देता। खराब पुर्जों का अनुपात बदलने से परिणाम बदल सकता है, भले दोनों जाँच दरें स्थिर रहें।
संदर्भ समूह के लिए चिह्नित स्तंभ चुनें
| वास्तविक स्थिति | चिह्नित | अचिह्नित | कुल |
|---|---|---|---|
| खराब | 18 | 2 | 20 |
| सही | 49 | 931 | 980 |
| कुल | 67 | 933 | 1000 |
स्रोत: ओपनस्टैक्स: द्विमार्गी सारणियाँ ↗ · ओपनस्टैक्स: प्रायिकता के दो मूल नियम ↗
6. बेयस नियम शर्त का उलटना स्पष्ट करता है
D खराब और F चिह्नित होने को बताए। चिह्नित समूह में दो असंयुक्त मार्ग हैं, इसलिए P(F) = P(F|D)P(D)+P(F|not D)P(not D)। उदाहरण में यह 0.90×0.02+0.05×0.98 = 0.067 है। पहले मार्ग को इस कुल से भाग देने पर बेयस नियम मिलता है: P(D|F) = P(F|D)P(D)/P(F) = 0.018/0.067। आधार दर P(D) आवश्यक है। शर्त वाले समूह के भीतर पूरक नियम भी चलता है: P(not D|F) = 1−P(D|F), लगभग 73.13%। हर पद समान लक्ष्य समष्टि और मेल खाती परिभाषाओं से जुड़ा होना चाहिए। दूसरी परिस्थिति में मापी दरें यहाँ लागू हों, यह आवश्यक नहीं। उचित प्रायिकता अद्यतन प्रमाण के साथ उसकी पृष्ठभूमि आवृत्तियाँ भी उपयोग करता है; वह पुरानी प्रायिकता को केवल यंत्र के प्रचारित प्रतिशत से नहीं बदल देता।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रायिकता के दो मूल नियम ↗ · ओपनस्टैक्स: द्विमार्गी सारणियाँ ↗
अभ्यास करें
अभ्यास: वापस रखे बिना दो चयन
- डिब्बे में चार लाल और छह नीली गोटियाँ हैं। वापस रखे बिना दो यादृच्छिक चयन करें। R₁ और R₂ क्रमशः पहले और दूसरे चयन में लाल होना हैं।
- P(R₂|R₁) तथा P(R₁∩R₂) निकालें। फिर पहले नीली और दूसरी लाल की प्रायिकता निकालें।
- दूसरे चयन में लाल आने वाले दोनों मार्ग जोड़ें। स्वतंत्रता जाँचने के लिए P(R₂|R₁) की तुलना बिना शर्त P(R₂) से करें।
- हल: P(R₂|R₁) = 3/9 = 1/3; दोनों लाल = (4/10)(3/9) = 2/15। पहले नीली फिर लाल = (6/10)(4/9) = 4/15। इसलिए P(R₂) = 6/15 = 0.4। 1/3 और 0.4 अलग हैं, अतः घटनाएँ निर्भर हैं। फिर भी दूसरे चयन की कुल लाल प्रायिकता मूल लाल अंश के बराबर है।
अपनी समझ जाँचें
P(A|B) का हर किससे तय होता है?
रेखा के बाद की घटना B से। शर्त लगाने के बाद उसी समूह के परिणाम विचार में लिए जाते हैं।
क्या P(A|B) और P(B|A) बराबर हो सकते हैं?
कुछ मामलों में हाँ, लेकिन कोई सामान्य सममिति नियम उन्हें बराबर नहीं बनाता। उनके हर प्रायः अलग होते हैं।
धनात्मक प्रायिकता वाली अपवर्जी घटनाएँ निर्भर क्यों हैं?
एक का होना जानने पर दूसरी असंभव हो जाती है; उसकी धनात्मक प्रायिकता शून्य हो जाती है।
चिह्नित पुर्जों में केवल लगभग 27% खराब क्यों निकले?
सही पुर्जे बहुत अधिक थे, इसलिए उनकी छोटी गलत चेतावनी दर ने भी वास्तविक खराब पुर्जों से अधिक चेतावनियाँ पैदा कीं।
बिना शर्त प्रायिकताओं को कब गुणा कर सकते हैं?
जब मॉडल में संबंधित घटनाएँ स्वतंत्र हों। अन्यथा बाद की शाखा के लिए सप्रतिबंध गुणक उपयोग करें।
क्या उपस्थिति की शर्त लगाने से कारणात्मक प्रभाव मप जाता है?
नहीं। आने और न आने वालों में पहले से अंतर हो सकते हैं। कारणात्मक अर्थ के लिए अतिरिक्त अध्ययन रूपरेखा या मान्यताएँ चाहिए।