मुख्य विचार
सहसंबंध रैखिक संबंध की दिशा और मजबूती मापता है। न्यूनतम वर्ग समाश्रयण वह रेखा चुनता है जिसके अवशेषों के वर्गों का योग सबसे कम हो। भ्रमकारी प्रभाव में जुड़े हुए प्रभाव सरल तुलना से वांछित प्रभाव को अलग नहीं करने देते।
1. आँकड़ों को संक्षिप्त करने से पहले युग्म दिखाएँ
हर प्रेक्षण एक ही इकाई का युग्म (x, y) देता है। प्रकीर्ण आरेख युग्मों को बनाए रखता है और दिशा, वक्रता, समूह तथा असामान्य बिंदु दिखा सकता है। x और y के स्तंभ अलग-अलग क्रम में न लगाएँ; इससे नए, गढ़े हुए युग्म बन जाएँगे। ऊपर जाता पैटर्न बताता है कि बड़े x के साथ बड़े y आने की प्रवृत्ति है। उससे यह सिद्ध नहीं होता कि x बदलने से y बदलेगा। वक्र संबंध मजबूत हो सकता है जबकि उसका रैखिक सहसंबंध शून्य के पास हो। जैसे (−1, 1), (0, 0), (1, 1) तीनों ठीक y = x² पर हैं, पर सहसंबंध शून्य है। इकाइयाँ, छूटे मान और एक ही व्यक्ति के कई प्रेक्षण भी जाँचें। एक सार संख्या ये सभी बातें नहीं दिखा सकती।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: समाश्रयण समीकरण ↗ · ओपनस्टैक्स: प्रकीर्ण आरेख ↗
2. सहसंबंध रैखिक पैटर्न का मानकीकरण करता है
x̄ और ȳ प्रतिदर्श माध्य हों। युग्मित प्रेक्षणों पर योग लेते हुए Sxx = Σ(x−x̄)², Syy = Σ(y−ȳ)² तथा Sxy = Σ(x−x̄)(y−ȳ) परिभाषित करें। दोनों चर बदलते हों तो पियर्सन सहसंबंध r = Sxy/√(SxxSyy) है। उसका मान −1 से 1 के बीच और इकाईरहित होता है। चिह्न रैखिक संबंध की दिशा बताता है। दोनों छोरों के पास मान सीधी रेखा के निकट पैटर्न बताते हैं; शून्य के पास मान का अर्थ हर प्रकार का संबंध न होना नहीं। घंटे को मिनट में बदलने से r नहीं बदलता, हालाँकि समाश्रयण ढाल की इकाई बदलती है। हर x समान हो तो Sxx शून्य है और सहसंबंध अपरिभाषित है; यह संबंध न होने का प्रमाण नहीं। असामान्य बिंदु, खासकर छोटे आँकड़ों में, r को बहुत बदल सकते हैं। उसका अर्थ ग्राफ और आँकड़े बनने के संदर्भ के साथ लें।
3. फिट रेखा अवशेषों के वर्गों का योग घटाती है
पूर्वानुमान रेखा का रूप ŷ = a+bx है। देखे गए युग्म में अवशेष e = y−ŷ है: धनात्मक का अर्थ बिंदु रेखा से ऊपर है। साधारण न्यूनतम वर्ग विधि a और b ऐसे चुनती है कि Σe² न्यूनतम हो। वर्ग लेने से धनात्मक और ऋणात्मक त्रुटियाँ कटती नहीं तथा बड़े विचलन अधिक प्रभाव डालते हैं। Sxx > 0 हो तो b = Sxy/Sxx और a = ȳ−bx̄। फिट रेखा (x̄, ȳ) से गुजरती है। ढाल फिट संबंध में x की एक इकाई बढ़ोतरी पर फिट y का बदलाव बताती है। अंतःखंड x = 0 पर फिट मान है; शून्य देखे दायरे से बहुत बाहर हो तो उसका उपयोगी व्यावहारिक अर्थ नहीं भी हो सकता। यह न्यूनतमकरण नियम वर्णनात्मक रेखा बनाता है; अनिश्चितता अंतराल या समष्टि के दावों के लिए अतिरिक्त मान्यताएँ चाहिए।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: समाश्रयण समीकरण ↗ · NIST: रैखिक न्यूनतम वर्ग समाश्रयण ↗
4. हल किया उदाहरण: छोटे काल्पनिक आँकड़ों की रेखा जाँचें
चार काल्पनिक अभ्यास रिकॉर्ड लें: घंटे x = 0, 1, 2, 3 और दस में से अंक y = 2, 4, 5, 7। माध्य x̄ = 1.5 और ȳ = 4.5 हैं। विचलनों से Sxx = 5, Sxy = 8 और Syy = 13 मिलता है। अतः b = 8/5 = 1.6 तथा a = 4.5−1.6(1.5) = 2.1। रेखा ŷ = 2.1+1.6x है। फिट मान 2.1, 3.7, 5.3, 6.9; अवशेष −0.1, 0.3, −0.3, 0.1 हैं, जिनके वर्गों का योग 0.20 है। सहसंबंध 8/√65 ≈ 0.9923 है। जानबूझकर व्यवस्थित यह उदाहरण गणना सिखाता है, अध्ययन समय का वास्तविक प्रभाव नहीं। ऊँचे सहसंबंध वाले चार प्रेक्षण व्यापक शैक्षिक निष्कर्ष के लिए पर्याप्त आधार नहीं हैं।
5. अच्छी फिटिंग का अर्थ निश्चित पूर्वानुमान नहीं
अंतःखंड वाली इस न्यूनतम वर्ग फिटिंग में R² = 1−SSE/Syy = 1−0.20/13 ≈ 0.9846 है, जो r² के बराबर भी है। यह बताता है कि ȳ के आसपास देखी गई वर्गित परिवर्तनशीलता का कितना हिस्सा फिट रेखा से समझाया गया। यह पूर्वानुमान के सही होने की 98.46% संभावना नहीं और कारण का माप भी नहीं। x = 2.5 पर रेखा 6.1 अंक बताती है, जो देखे दायरे के भीतर अंतर्वेशन है। x = 10 पर 18.1 अंक मिलते हैं, जो दस अंकों की परीक्षा में असंभव हैं। बहिर्वेशन मॉडल की सीमा दिखाता है। x के विरुद्ध अवशेष बनाएँ: वक्रता छूटा अरैखिक पैटर्न और बढ़ता फैलाव बदलती परिवर्तनशीलता सुझाता है। एक नए शिक्षार्थी का परिणाम बताना, दिए x पर औसत परिणाम अनुमानित करने से अधिक अनिश्चित है। उचित पूर्वानुमान अनिश्चितता बताता है और उपयुक्त समष्टि तथा मॉडल उपयोग करता है।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: समाश्रयण समीकरण ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्वानुमान ↗
6. हल किया उदाहरण: समूह संरचना तुलना उलट सकती है
अध्ययन विधियों A और B के काल्पनिक प्रेक्षणात्मक परिणाम पूर्व तैयारी के आधार पर बाँटें। अच्छी तैयारी वालों में A की सफलता 9/10 = 90% और B की 72/90 = 80% है। कम तैयारी वालों में A की 18/90 = 20% और B की 1/10 = 10% है। दोनों तैयारी समूहों में A की देखी सफलता दर अधिक है। फिर भी कुल A की सफलता 27/100 = 27%, जबकि B की 73/100 = 73% है। A के अधिकांश उपयोगकर्ता कठिन सफलता वाले समूह में और B के अधिकांश पहले से अच्छी तैयारी वाले समूह में थे। कुल दरों में समूहों के भार अलग हैं, इसलिए तुलना उलटती है। यह सिम्पसन विरोधाभास का उदाहरण है। तैयारी समूह के भीतर तुलना एक असंतुलन सुधारती है, लेकिन कारणात्मक बढ़त फिर भी सिद्ध नहीं होती: दूसरे अंतर, चयन और संयोग बाकी हो सकते हैं।
पैटर्न और उसके पीछे के समूह देखें
| पूर्व तैयारी | विधि A | विधि B |
|---|---|---|
| अच्छी तैयारी | 9/10 = 90% | 72/90 = 80% |
| कम तैयारी | 18/90 = 20% | 1/10 = 10% |
| कुल | 27/100 = 27% | 73/100 = 73% |
स्रोत: ओपनस्टैक्स: द्विमार्गी सारणियाँ ↗ · ओपनस्टैक्स: आँकड़े, प्रतिचयन और परिवर्तनशीलता ↗
7. अध्ययन रूपरेखा तय करती है कि कौन-से दावे उचित हैं
संभावित भ्रमकारी चर परिणाम को प्रभावित करता है और व्याख्यात्मक चर से जुड़ा होता है, जिससे प्रभाव अलग करना कठिन होता है। विधि उदाहरण में पूर्व तैयारी विधि चयन और सफलता दोनों से जुड़ी है। विधियों का यादृच्छिक आवंटन औसतन ऐसे कारकों में संतुलन ला सकता है तथा अच्छी तरह किए प्रयोग में कारणात्मक तुलना का आधार बन सकता है; हर सीमित प्रतिदर्श में बिल्कुल समान समूह की गारंटी नहीं देता। यादृच्छिक प्रतिचयन का अलग उद्देश्य है: समष्टि तक निष्कर्ष फैलाने का आधार। प्रेक्षणात्मक समाश्रयण मापे अंतरों का समायोजन कर सकता है, फिर भी न मापे भ्रमकारी प्रभाव रह सकते हैं। हर उपलब्ध चर यांत्रिक ढंग से जोड़ना प्रक्रिया समझने का विकल्प नहीं। तीन दावे अलग रखें: इन प्रेक्षणों का वर्णन, समान भावी प्रेक्षणों का पूर्वानुमान और हस्तक्षेप के प्रभाव का अनुमान। प्रत्येक को अपना प्रमाण चाहिए।
स्रोत: ओपनस्टैक्स: प्रयोग की रूपरेखा और नैतिकता ↗ · ओपनस्टैक्स: आँकड़े, प्रतिचयन और परिवर्तनशीलता ↗
अभ्यास करें
अभ्यास: फिट रेखा और उसकी सीमा जाँचें
- चार-बिंदु आँकड़ों में ŷ = 2.1+1.6x से x = 2, y = 5 पर फिट मान और अवशेष निकालें।
- x को घंटे के बजाय मिनट में मापने पर वही ढाल लिखें। पूर्वानुमानित अंक समान रखें।
- 150 मिनट पर पूर्वानुमान निकालें और बताएँ कि दस अंकों की परीक्षा में दस घंटे का पूर्वानुमान विश्वसनीय क्यों नहीं है।
- हल: दो घंटे पर फिट मान 5.3 और अवशेष −0.3 है। ढाल 1.6/60 अंक प्रति मिनट होगी, इसलिए 150 मिनट पर भी 6.1 मिलता है। दस घंटे पर 18.1 आता है, जो अंक सीमा तोड़ता है और आँकड़ों से बहुत बाहर जाता है। इकाई बदलने से पूर्वानुमान सुरक्षित रहता है; दायरे से बाहर मॉडल बढ़ाने से वैधता सुरक्षित नहीं रहती।
अपनी समझ जाँचें
क्या शून्य सहसंबंध के साथ मजबूत संबंध हो सकता है?
हाँ। सहसंबंध रैखिक संबंध बताता है; y = x² जैसा सममित वक्र पैटर्न शून्य सहसंबंध दे सकता है।
अवशेषों का वर्ग क्यों लेते हैं?
इससे विपरीत चिह्न कटते नहीं और बड़े विचलनों को अधिक भार मिलता है। इससे असामान्य बिंदु प्रभावशाली भी हो जाते हैं।
क्या r = 0.99 कारण सिद्ध करता है?
नहीं। साझा कारण, चयन प्रक्रिया या दूसरा तंत्र संबंध बना सकता है। संबंध की मजबूती उसका कारण तय नहीं करती।
विधियों की कुल तुलना क्यों उलटी?
विधियों में अलग तैयारी समूहों का मिश्रण बहुत अलग था। कुल दरों में कठिन और आसान समूहों के भार अलग थे।
क्या यादृच्छिक प्रतिचयन और आवंटन एक-दूसरे की जगह हैं?
नहीं। प्रतिचयन तय करता है कि अध्ययन में कौन आए; आवंटन तय करता है कि प्रतिभागी को कौन-सी विधि मिले। वे अलग अनुमान समस्याएँ संबोधित करते हैं।
क्या R² बताता है कि पूर्वानुमान कितनी बार सही होगा?
नहीं। वह देखे परिणाम की फिट वर्गित परिवर्तनशीलता का सार है। नए आँकड़ों की पूर्वानुमान सटीकता की अलग जाँच चाहिए।