घातांक, मूल और वैज्ञानिक संकेतन: अलग पैमानों पर गणना

1. घात बार-बार आने वाले गुणक गिनती है

5³ में 5 आधार और ऊपर का 3 घातांक है। इसका अर्थ 5 × 5 × 5 = 125 है, 5 × 3 नहीं। साधारण पाठ में इसे 5^3 भी लिख सकते हैं; ^ घातांक शुरू करता है। 7² जैसे वर्ग में दो समान गुणक हैं और मान 49 है। 4³ जैसे घन में तीन समान गुणक हैं और मान 64 है।

ऋण चिह्न होने पर कोष्ठक आधार तय करते हैं। (−3)² का अर्थ (−3) × (−3) = 9 है। बिना कोष्ठक −3² सामान्यतः 3² का ऋणात्मक, यानी −9 है। (−3)³ में तीन ऋणात्मक गुणक −27 देते हैं। गुणक गिनने से पहले समूहित आधार पढ़ें, वरना सही नियम गलत संख्या पर लग सकता है।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: घातांकों के गुणन नियम ↗

2. गुणक देखकर नियम निकालें

समान आधार वाली घातों के गुणन में उनके गुणक जुड़ते हैं। जैसे 2³ × 2⁴ में 2 के सात गुणक हैं, इसलिए 2⁷ = 128। सामान्य नियम a^m × a^n = a^(m+n) है, जहाँ घातें परिभाषित हों। m और n घातांक हैं, और कोष्ठक उनका योग साथ रखते हैं। नियम में आधार समान चाहिए; इससे सीधे 2³ × 3⁴ नहीं जोड़ सकते।

अशून्य आधार में भाग समान गुणक काटता है: 7⁵/7² = 7³ = 343। घात की घात लेने पर घातांक गुणा होते हैं: (2³)² = 2⁶ = 64। जोड़ अलग है: 2³ + 2² = 8 + 4 = 12, 2⁵ नहीं। नियम संदिग्ध लगे तो छोटा उदाहरण गुणकों में खोलें; मूल गुणन ही छोटे तरीके का कारण है।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: घातांकों के गुणन नियम ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: एकपदों का भाग ↗

3. शून्य और ऋणात्मक घातांक पैटर्न बढ़ाते हैं

10³ = 1000, 10² = 100 और 10¹ = 10 से शुरू करें। घातांक एक घटाने पर मान 10 से भाग होता है। आगे 10⁰ = 1, 10⁻¹ = 0.1, 10⁻² = 0.01 और 10⁻³ = 0.001 मिलता है। ऋणात्मक घातांक व्युत्क्रम बताता है, ऋणात्मक मान नहीं। हर अशून्य आधार a के लिए a⁰ = 1 और a^(−n) = 1/a^n।

जैसे 2⁻³ = 1/8, जबकि −2³ = −8। अशून्य की शर्त महत्वपूर्ण है: 0⁻¹ के लिए शून्य से भाग देना पड़ेगा। इस पाठ में 0⁰ को अपरिभाषित छोड़ते हैं; उस पर अशून्य आधार का नियम नहीं लगाते। दस की घातों की सारणी दिशा जाँचती है: 10² से गुणा धनात्मक संख्या को सौ गुना बड़ा, 10⁻² से गुणा उसका सौवाँ भाग करता है।

स्रोत: एनसीईआरटी कक्षा 8 गणित उदाहरणात्मक प्रश्न: घातांक और घात ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: पूर्णांक घातांक और वैज्ञानिक संकेतन ↗

4. तय नियम के अनुसार मूल घात उलटते हैं

वर्गमूल चिह्न √ दी गई गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए वह गैर-ऋणात्मक संख्या माँगता है जिसका वर्ग दिया मान हो। इसलिए √81 = 9 क्योंकि 9² = 81। पर x² = 81 के दो वास्तविक हल 9 और −9 हैं, क्योंकि दोनों का वर्ग 81 है। स्वयं √81 केवल 9 दर्शाता है। मूल का मान निकालना और समीकरण हल करना अलग समझें।

2.25 वर्ग मीटर क्षेत्रफल वाले काल्पनिक वर्ग की भुजा √2.25 = 1.5 मीटर है; परिस्थिति ऋणात्मक लंबाई स्वीकार नहीं करती। हर मूल समाप्त दशमलव नहीं होता। 4² = 16 और 5² = 25 होने से √20, 4 और 5 के बीच है। घनमूल घन की उलटी क्रिया है: ∛(−8) = −2 क्योंकि (−2)³ = −8। मूल चिह्न पर छोटा 3 घनमूल पहचानता है।

मूल की क्रिया जोड़ पर बँटती नहीं। जैसे √(9 + 16) = √25 = 5, जबकि √9 + √16 = 3 + 4 = 7। कोष्ठक का योग निकालने के बाद उसका मूल लें। इसी तरह ऋणात्मक संख्या का वर्ग करके वर्गमूल लेने पर उसका ऋण चिह्न वापस नहीं आता: √((−6)²) = √36 = 6। वर्ग करने से चिह्न खोता है और वर्गमूल का चिह्न गैर-ऋणात्मक परिणाम चुनता है। जटिल संख्याओं पर कोई नया छोटा तरीका लगाने से पहले इन सरल उदाहरणों से जाँचें।

स्रोत: एनसीईआरटी कक्षा 8 गणित उदाहरणात्मक प्रश्न: वर्ग-वर्गमूल और घन-घनमूल ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: वर्गमूल का सरलीकरण और उपयोग ↗

5. हल किया उदाहरण: बड़े और छोटे माप लिखें

धनात्मक संख्या का मानक वैज्ञानिक संकेतन a × 10^n है, जिसमें गुणांक a कम से कम 1 और 10 से छोटा तथा घातांक n पूर्णांक है। उदाहरण: 4,600,000 मीटर = 4.6 × 10⁶ मीटर। गुणांक मुख्य अंक और घात पैमाना देती है। 46 × 10⁵ का मान वही है, पर मानक रूप नहीं क्योंकि 46, 10 से बड़ा है।

एक काल्पनिक कागज़ की मोटाई 0.00008 मीटर है। इसे 8 × 10⁻⁵ मीटर लिखें, क्योंकि 10⁻⁵ = 0.00001 और उसके आठ भाग 0.00008 बनाते हैं। केवल शून्य गिनने के बजाय वापस गुणा करके जाँचें। यहाँ ऋणात्मक घातांक छोटी धनात्मक लंबाई बताता है। शून्य सामान्यतः 0 लिखा जाता है; वह इस मानक रूप की अशून्य गुणांक शर्त पूरी नहीं करता।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: पूर्णांक घातांक और वैज्ञानिक संकेतन ↗

6. हल किया उदाहरण: ढेर की मोटाई निकालें

उन काल्पनिक कागज़ों के 2500 का ढेर बनाएँ, बिना खाली जगह या दबाव मानते हुए। संख्या 2.5 × 10³ लिखें। कुल मोटाई (2.5 × 10³) × (8 × 10⁻⁵) मीटर है। गुणांक गुणा करने पर 20 और घातांक जोड़ने पर −2 है, इसलिए 20 × 10⁻² = 0.20 मीटर। मानक रूप 2 × 10⁻¹ मीटर, यानी 20 सेंटीमीटर है।

दूसरी इकाई से जाँचें: 0.00008 मीटर = 0.08 मिलीमीटर, इसलिए 2500 × 0.08 = 200 मिलीमीटर, फिर 20 सेंटीमीटर। भाग में गुणांक भाग और घातांक घटाते हैं। जैसे 6 × 10⁵ मीटर को 2 × 10² सेकंड से भाग देने पर 3 × 10³ मीटर प्रति सेकंड है। यह काल्पनिक गणना बताती है कि इकाइयाँ गणना के साथ कैसे चलती हैं; यह मापी गई चाल नहीं है।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: पूर्णांक घातांक और वैज्ञानिक संकेतन ↗ · ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: एकपदों का भाग ↗

7. जोड़ या तुलना से पहले पैमाना मिलाएँ

4.2 × 10⁵ और 7 × 10⁴ जोड़ने के लिए दूसरे को 0.7 × 10⁵ लिखें। योग (4.2 + 0.7) × 10⁵ = 4.9 × 10⁵ है। यहाँ घातांक जोड़ना गुणन का नियम गलत क्रिया पर लगाना होगा। 3 × 10⁻⁴ और 8 × 10⁻⁵ की तुलना में पहले को 30 × 10⁻⁵ लिखें; शुरुआती गुणांक छोटा दिखने पर भी वह बड़ा है।

वैज्ञानिक संकेतन मापन की परिशुद्धता नहीं बढ़ाता। अनुमानित लंबाई दस की घात में लिखने के बाद भी अनुमानित रहती है। मूल इकाइयाँ और बताई अनिश्चितता बनाए रखें तथा बिना आधार दशमलव अंक न जोड़ें। उत्तर मानने से पहले मोटे पैमाने का अनुमान करें: ढेर में हज़ारों बहुत पतले कागज़ हैं, इसलिए सैकड़ों मीटर का उत्तर घातांक की गलती का संकेत होगा। किसी परिणाम को अगली गणना में इस्तेमाल करने से पहले यह छोटी जाँच विशेष रूप से उपयोगी है।

स्रोत: ओपनस्टैक्स: पूर्व-बीजगणित: पूर्णांक घातांक और वैज्ञानिक संकेतन ↗

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